📂추상대수

추상대수학에서의 래디컬과 닐래디컬

Radical and nilradical in Abstract Algebra

정의 ¹

$N$ 이 환 $R$ 의 아이디얼이라고 하자.

1. $\text{rad} N := \left\{ a \in R \ | \ a^n \in N \right\}$ 을 $N$ 의 래디컬^Radical이라 한다.
2. $a^{n} = 0$ 을 만족하는 $n \in \mathbb{N}$ 이 존재하면 $a$ 가 닐포텐트^Nilpotent라 한다.
3. 닐포텐트 엘러먼트들의 집합 $\text{nil} R := \left\{ a \in R \ | \ a^n = 0 \right\}$ 을 $R$ 의 닐래디컬^Nilradical이라 한다.

설명

$N$ 의 래디컬을 $\sqrt{N}$, $R$ 의 닐래디컬을 $\sqrt{0}$ 이라고 나타낸다. $\sqrt{N}$ 의 원소를 몇번 거듭제곱하면 $N$ 의 원소를 만들 수 있다는 점에서 충분히 말이 되는 표현으로 볼 수 있겠다.

다음의 두 정리는 아이디얼이 필요할 때 구체적으로 $\sqrt{N}$ 와 $\sqrt{0}$ 을 잡을 수 있다는 점에서 유용하다. 래디컬과 닐래디컬은 꽤나 강한 조건을 만족하고 있어서 다루기도 쉽다.

정리

$R$ 이 가환환이라고 하자.

• [1]: $\sqrt{N}$ 은 $R$ 의 아이디얼이다.
• [2]: $\sqrt{0}$ 은 $R$ 의 아이디얼이다.

증명

[1]

$R$ 은 가환환이고 $N$ 은 아이디얼이므로 $r \in R$, $a \in N$ 에 대해 $$ ra \in N \\ r^{n} \in R $$ 이고, $a^{n} \in N$ 에 대해 $$ r^{n} a^{n} = (ra)^{n} \in \sqrt{N} $$ 다. 따라서 $$ r \sqrt{N} = \sqrt{N} r \subset \sqrt{N} $$ 이다. 이제 $( \sqrt{N} , + )$ 이 $R$ 의 부분군이 됨을 보이면 되는데, 항등원과 역원이 존재하는지만 체크하자.

• (ii): $0^{n} \in N$ 이므로, $0$ 은 $\sqrt{n}$ 의 항등원으로써 존재한다.
• (iii): 모든 $a$ 에 대해 $(-a)^{n} = (-1)^{n} a^{n} \in N$ 이므로, $-a \in \sqrt{N}$ 이 $a$ 의 역원으로써 존재한다.

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[2]

$R$ 은 가환환이므로 $r \in R$, $a \in \sqrt{0}$ 에 대해 $$ (ra)^{n} = r^{n} a^{n} = 0 $$ 이고, $ra \in r \sqrt{0}$ 이므로 $$ r \sqrt{0} = \sqrt{0} r \subset \sqrt{0} $$ 이다. 이제 $( \sqrt{0} , + )$ 이 $R$ 의 부분군이 됨을 보이면 되는데, 항등원과 역원이 존재하는지 체크하자.

• (ii): $0^{1} = 0$ 이므로, $0$ 은 $\sqrt{0}$ 의 항등원으로써 존재한다.
• (iii): 모든 $a$ 에 대해 $(-a)^{n} = (-1)^{n} a^{n} = 0$ 이므로, $-a \in \sqrt{0}$ 이 $a$ 의 역원으로써 존재한다.

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