몫 공간

몫 공간

정의 1

위상공간 $(X, \mathscr{T} )$ 와 동치 관계 $\sim$ 에 대해 동치류를 $[x] = \left\{ y \in X \ | \ x \sim y \right\}$ 이라 하자.

  1. $X / \sim$ 을 몫 집합이라 정의한다.
  2. $q : X \to X / \sim$ 을 $q(x) = [ x ]$ 로 정의하면 몫 함수라 부른다.
  3. $U \in \mathscr{T}$ 에 대해 $$ q^{-1} (U) = \bigcup_{[ x ] \in U} [ x ] \iff U \in \mathscr{T_{\sim}} $$ 이라고 하자. $\mathscr{T_{\sim}}$ 을 몫 위상이라 하고, $( X/ \sim , \mathscr{T_{\sim}} )$ 을 모듈러 $\sim$ 에서 $X$ 의 몫 공간이라 정의한다.
  4. $A \subset X$ 에 대해 $x \sim y \iff x,y \in A$ 라 할 때, $X / \sim$ 을 $X / A$ 와 같이 나타낼 수 있다.

설명

수식이 어려우니 개념으로 접근해야한다.

서로 다른 두 점을 동치관계를 통해 ‘사실 상 같은 것으로 취급’함으로써, ‘이어 붙이기’와 같은 개념이 수학적으로 정의된다. 이 때 동치류가 ‘같은 것으로 취급하는 기준’이 되고 멀쩡한 $X$ 를 $X / \sim$ 과 같이 공간을 산산조각낸 공간이 나타난다.

이어 붙이는 일과 상관 없는 점들은 $X / \sim$ 에서 산산조각 나더라도 $X$ 에서의 모습이 그대로 유지되지만, 이어 붙이는 것과 관계 있는 점들은 $X / \sim$ 에서 같은 동치류에 속한 원소들과 사실 상 같은 점이 되면서 어느 점이 어떤 점이었는지 상관 없어져버린다.

수식적인 기술은 집합론만 알면 큰 문제가 없는 수준이니 아래의 예시들을 통해 직관적으로 이해해보자.

예시

선분 → 원

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몫 함수 $q : [0,1] \to [0,1] / \left\{ 0, 1 \right\}$ 는 선분의 양 끝점을 같은 것으로 취급함으로써 사실상 원을 만들 수 있다.

사각형 → 구

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사각형의 모든 테두리를 한 점으로 모아서 구를 만들 수 있다.보자기를 묶어 보따리로 만드는 과정을 떠올려보자.

사각형 → 원통 → 토러스

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사각형을 말아서 원통모양으로 만들고, 원통을 구부려서 끝과 끝을 이으면 토러스가 된다.

띠 → 뫼비우스의 띠

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알다시피 띠의 양 끝을 반대 방향으로 잇게 되면 가운데가 한 번 꼬이면서 앞과 뒤의 구분이 없는 뫼비우스의 띠가 된다.

원통 → 클라인의 병

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원통의 끝과 끝을 반대 방향으로 잇는다고 생각해보자.직접 상상하고 고민해보면 알겠지만 원통을 훼손시키지 않고서는 불가능한 일이다. 한 쪽 끝이 원통을 꿰뚫고 다른 쪽 끝과 겹치도록 이으면 겉과 속의 구분이 없는 클라인의 병이 된다.


  1. Munkres. (2000). Topology(2nd Edition): p138. ↩︎

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