📂선형대수

이차형식

Quadratic Form

정의¹

$1\le i,j \le n$에 대해서, 실수인 변수 $x_{i}$와 상수 $a_{ij}$들의 이차 다항식을 이차 형식^{quadratic form}이라 한다.

$$ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + \cdots a_{nn}^{\ }x_{n}^{2} + \left( \text{all possible terms } a_{ij}x_{i}x_{j} \text{ in which } i\ne j \right) = \sum \limits _{i=1}^{n} \sum \limits _{j=1}^{n} a_{ij}x_{i}x_{j} $$

이때 $a_{ij}=a_{ji}$이고, 인덱스가 다른 $a_{ij}x_{i}x_{j}$꼴의 항을 혼합항^{cross product terms}이라 한다.

설명

이 정의를 행렬로 표현하면 다음과 같다. 변수를 $n\times 1$ 행렬 $\mathbf{x}$, 상수를 $n\times n$ 대칭행렬 $A$라고 하면 이에 대한 이차 형식은 $Q_{A}(\mathbf{x})$로 표기하고 $A$에 연관된 이차 형식^{quadratic form associated with A}이라 부른다.

$$ Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1} ^{n}\sum \limits _{j=1} ^{n}a_{ij}x_{i}x_{j} $$

예로 $\mathbb{R}^{2}$상의 이차 형식은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} & a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + a_{21}^{\ }x_{2}^{\ }x_{1}^{\ } \\ =&\ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } \end{align*} $$

$\mathbb{R}^{3}$상의 이차 형식은 다음과 같다.

$$ a_{11}^{\ }x_{1}^{2} + a_{22}^{\ }x_{2}^{2} + a_{33}^{\ }x_{3}^{2} + 2a_{12}^{\ }x_{1}^{\ }x_{2}^{\ } + 2a_{13}^{\ }x_{1}^{\ }x_{3}^{\ } + 2a_{23}^{\ }x_{2}^{\ }x_{3}^{\ } $$

중복을 피하기 위해 위와 같이 혼합항을 결합해서 적는 것이 일반적이다. 이차 형식은 행렬 내적의 성질에 의해 다음과 같이 나타낼 수 있다. 실수, 복소수에 대해서 각각 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \mathbf{x}^{T} A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{x}^{\ast} A \mathbf{x} &= \mathbf{x} \cdot A\mathbf{x} = A\mathbf{x} \cdot \mathbf{x} \end{align*} $$

$A$가 대각행렬일 경우에는 $a_{ij}=0 (i \ne j)$이므로 이차 형식 $Q_{A}(\mathbf{x})$는 혼합항을 가지지 않는다.

$$ Q_{A}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^{T}A\mathbf{x} =\begin{bmatrix} x_{1} & \cdots &x_{n} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{11} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & a_{22} & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & a_{nn} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_{1} \\ \vdots \\ x_{n} \end{bmatrix}=\sum \limits _{i=1}^{n} a_{ii}x_{i}^{2} $$