이상기체 방정식

이상기체 방정식

공식1

기체의 분자 수를 $N$, 부피를 $V$, 압력을 $p$, 절대온도를 $T$라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립하며 이를 이상기체 방정식ideal gas equation이라 한다.

$$ pV = N k_{B} T $$

이때 $k_{B} = 1.3807 \times 10^{-23} J / K$를 볼츠만 상수Boltzmann constant라 한다.

설명

역사적으로 보면 실험법칙으로부터 유도되었다가 후에 기체운동론에서 수식적으로 유도되었다. ‘이상기체’ 방정식이라 부르는 이유는 수식을 유도하는 과정에서 다음과 같은 가정이 쓰였기 때문이다.

실제로는 당연히 분자들은 서로 상호작용을 하고, 크기가 있지만 이론의 단순함을 위해 위와 같이 가정한다. 지표면에서 상대성이론을 고려하지 않고 뉴턴역학만을 사용해도 많은 현상을 잘 설명하는 것처럼, 이상기체 방정식도 실제 기체를 잘 설명한다. 실제 기체는 계의 분자량이 적을수록, 온도가 높을수록, 압력이 낮을수록 이상기체와 가까워진다.

이상기체 방정식이 모든 기체 현상을 설명할 수 있는 것은 아니다. 상대론적인 효과를 고려해야할 때는 상대론적 기체모델을, 양자 효과를 고려해야할 때는 양자기체모델을 사용해야한다.

이상기체 방정식의 상수를 몰수 $n$ 에 대해 나타내면 $pV = nRT$ 의 꼴로 쓸 수 있다. 이 때 $R$ 을 기체상수라고 하는데, 열역학에선 대개 꼴과 거의 반반씩 쓰인다.

유도

$$ p \propto \dfrac{1}{V} $$

일정한 온도에서 기체의 압력과 부피에 대해서 위와 같은 관계가 성립하며 이를 보일의 법칙Boyle’s law이라 한다. 후에 보일과 무관하게 에드메 매리어트Edme Mariotte도 같은 사실을 발견하여 보일-매리어트 법칙이라고도 한다.

$$ V \propto T $$

일정한 압력에서 기체의 부피와 온도에 대해서 위와 같은 관계가 성립하며 이를 샤를의 법칙Charles' law이라 한다.

$$ p \propto T $$

기체의 부피가 일정할 때, 온도와 압력에 대해서 위와 같은 관계가 성립하며 이를 게이루삭의 법칙이라 한다. 위의 세 비례식으로부터 다음의 식을 얻는다.

$$ p^{2}V \propto T^{2}/V \implies p^{2}V^{2} \propto T^{2} \implies pV \propto T $$

비례상수를 $Nk_{B}$라고 하면 아래의 결과를 얻는다.

$$ pV = Nk_{B}T $$


  1. Stephen J. Blundell and Katherine M. Blundell, 열 물리학(Concepts in Thermal Physics, 이재우 역) (2nd Edition, 2014), p8-10 ↩︎

댓글