미분기하에서 풀백

미분기하에서 풀백

Pull Back in Differential Geometry

개요

미분다양체 위의 풀백을 정의한다. 미분다양체가 어렵다면 $M = \mathbb{R}^{m}$, $N = \mathbb{R}^{n}$이라고 생각해도 좋다.

정의1

미분다양체 $M, N$과 미분가능한 함수 $f : M \to N$이 주어졌다고 하자. 그러면 같이 $N$의 $k$-형식을 $M$의 $k$-형식으로 보내는 함수 $f^{\ast}$를 생각할 수 있다. $\omega$를 다양체 $N$의 $k$-형식이라고 할 때, 다양체 $M$의 $k$-형식 $f^{\ast}\omega$를 $\omega$의 풀백pull back, 당김이라하고 다음과 같이 정의한다.

$$ \begin{equation} (f^{\ast}\omega)(p) (v_{1}, \dots, v_{k}) := \omega(f(p))\left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right),\quad v_{i} \in T_{p}M \end{equation} $$

설명

풀백이라는 이름에는, $f$는 $M$에서 $N$ 쪽으로의 매핑인것에 반해 $f^{\ast}$는 $N$에서 $M$ 쪽으로의 매핑이라는 의미가 있다. 정의와 표기법이 상당히 어려운데 차근차근 이해해보자.

  • $f^{\ast}$

$f^{\ast}$는 $N$의 $k$-형식을 $M$의 $k$-형식으로 보내는 맵이다. 따라서 $\omega$를 $N$의 $k$-형식이라고 하면 $f^{\ast}\omega = f^{\ast}(\omega)$는 $M$의 $k$-형식이다.

  • $f^{\ast}\omega(p)$

다양체 $M$위의 $k$-형식은 $p \in M$를 $\Lambda^{k}(T_{p}^{\ast}M)$의 원소로 매핑한다.

$$ f^{\ast}\omega : M \to \Lambda^{k}(T_{p}^{\ast}M) $$

$$ \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\} $$

다시말해 $f^{\ast}\omega(p) \in \Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$ 역시도 하나의 함수이다. $\Lambda^{k} (T_{p}^{\ast}M)$의 정의에 의해 $f^{\ast}\omega(p)$는 $k$개의 $p$ 위에서의 탄젠트 벡터를 변수로 갖는다. 그러면 이제 $(1)$은 이 함수의 함숫값을 구체적으로 정의한 식이라는 게 눈에 보일 것이다. $f^{\ast}(p)$ 자체가 하나의 함수라는 것을 더 강조하기 위해서 다음과 같은 표기를 쓰기로 하자.

$$ (f^{\ast}\omega)_{p} = f^{\ast}\omega(p) $$

  • $\omega(f(p))$

$\omega$는 $N$의 $k$-형식이므로, $N$의 점 $f(p)$를 $\Lambda^{k}(T_{f(p)}^{\ast}N)$의 원소로 매핑한다.

$$ \Lambda^{k} (T_{f(p)}^{\ast}N) := \left\{ \varphi : \underbrace{T_{f(p)}N \times \cdots \times T_{f(p)}N}_{k \text{ times}} \to \mathbb{R}\ | \ \varphi \text{ is k-linear alternating map} \right\} $$

$\Lambda^{k} (T_{f(p)}^{\ast}N)$의 정의에 의해 $\omega(f(p))$ 역시도 하나의 함수이다. $\omega(f(p))$는 $k$개의 $f(p)$위에서의 탄젠트 벡터를 변수로 갖는다. 여기서도 마찬가지로 $w(f(p))$ 자체가 하나의 함수인 것을 강조하기 위해 다음과 같은 표기를 쓰자.

$$ \omega_{f(p)} = \omega(f(p)) $$

  • $df_{p}v_{i}$

$$ df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N $$

$f : M \to N$에 대해서 $f$의 미분 $df_{p}$는 위와 같이 정의된다. 따라서 $v_{i} \in T_{p}M$이라고 하면, $df_{p}v_{i} = df_{p}(v_{i})$는 $T_{f(p)}N$의 원소이다.

이제 이를 종합하면 $(1)$을 얻는다.

$$ (f^{\ast}\omega)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) := \omega_{f(p)}\left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right),\quad v_{i} \in T_{p}M $$

위 두 함수의 정의역을 보면 다음과 같은 차이가 있다.

$$ \begin{align*} (f^{\ast}\omega)_{p} : && \underbrace{T_{p}M \times \cdots \times T_{p}M}_{k \text{ times}} &\to \mathbb{R} \\ \omega_{f(p)} : && \underbrace{T_{f(p)}N \times \cdots \times T_{f(p)}N}_{k \text{ times}} &\to \mathbb{R} \end{align*} $$

이를 미분 $df_{p} : T_{p}M \to T_{f(p)}N$가 이어주는 것이라고 생각하면 된다. 그래서 $df_{p}$를 푸쉬 포워드push forward, 밂라고도 한다. $1$-형식 $\varphi$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{equation} \varphi( dfv) = f^{\ast}\varphi(v) \end{equation} $$

$0$-형식의 풀백

$f : M \to N$을 두 미분다양체사이에서 정의된 함수라고 하자. $g : N \to \mathbb{R}$을 함수($N$에서의 $0$-형식)라고 하자. $g$의 풀백 $f^{\ast}g : M \to \mathbb{R}$은 다음과 같이 정의되는 함수($M$에서의 $0$-형식)이다.

$$ f^{\ast}g := g \circ f $$

좌표 변환

함수 $f : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}^{m}$이 주어졌다고 하자. $\mathbf{x} = (x_{1}, \dots ,x_{n}) \in \mathbb{R}^{n}$이고, $\mathbf{y} = (y_{1}, \dots ,y_{m}) \in \mathbb{R}^{m}$이다.

$$ f(x_{1}, \dots, x_{n}) = (f_{1}(\mathbf{x}), \dots, f_{m}(\mathbf{x}) )= (y_{1}, \dots ,y_{m}) $$

그리고 $\omega = \sum\limits_{I} a_{I} dy_{I}$를 $\mathbb{R}^{m}$ 위의 $k$-형식이라고 하자. 그러면 $\omega$의 풀백 $f^{\ast}\omega$는 아래의 성질들에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} f^{\ast} \omega &= f^{\ast} \left( \sum a_{I}dy_{I} \right) \\ &= \sum f^{\ast} \left( a_{I}dy_{I} \right) \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} f^{\ast}dy_{I} \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} f^{\ast}(dy_{i1} \wedge \cdots \wedge dy_{ik}) \\ &= \sum f^{\ast}a_{I} (f^{\ast}dy_{i1} \wedge \cdots \wedge f^{\ast}dy_{ik}) \end{align*} $$

이때 $(2)$에 의해 $f^{\ast}dy_{i1}(v) = dy_{i1}(df(v)) = d(y_{i1}\circ f)(v) = df_{i1}(v)$이고, $f^{\ast}a_{I} = a_{I} \circ f$이므로,

$$ \begin{equation} f^{\ast} \omega = \sum a_{I}(f_{1}, \dots f_{m}) df_{i1} \wedge \cdots \wedge df_{ik} \end{equation} $$

위 식은 좌표변환을 의미하는데, 구체적으로 어떻게 되는지 아래의 예제에서 보자.

예제

$\mathbb{R}^{2} \setminus \left\{ 0, 0 \right\}$ 위의 $1$-형식 $\omega$가 다음과 같다고 하자.

$$ \omega = - \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}dx + \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}dy = a_{1}dx + a_{2}dy $$

이 직교좌표위의 $1$-형식을 극좌표로 바꿔보자. $U = \left\{ (r,\theta) : 0 \lt r, 0 \le \theta \lt 2\pi \right\}$라고 하자. 그리고 $f : U \to \mathbb{R}^{2}$를 다음과 같다고 하자.

$$ f(r,\theta) = (r\cos\theta, r\sin\theta) = (f_{1}, f_{2}) $$

이제 $df_{1}, df_{2}$를 계산해보자. $f_{1} = r\cos\theta, f_{2}=r\sin\theta$이므로,

$$ \begin{align*} df_{1} &= \dfrac{\partial f_{1}}{\partial r}dr + \dfrac{\partial f_{1}}{\partial \theta}d\theta = \cos\theta dr - r \sin \theta d\theta \\ df_{2} &= \dfrac{\partial f_{2}}{\partial r}dr + \dfrac{\partial f_{2}}{\partial \theta}d\theta = \sin\theta dr + r \cos \theta d\theta \\ \end{align*} $$

그러면 $(3)$에 의해,

$$ \begin{align*} f^{\ast} \omega &= a_{1}(f_{1}, f_{2})df_{1} + a_{2}(f_{1}, f_{2})df_{2} \\ &= - \dfrac{f_{2}}{f_{1}^{2} + f_{2}^{2}}(\cos\theta dr - r \sin \theta d\theta) + \dfrac{f_{1}}{f_{1}^{2} + f_{2}^{2}}df_{2}(\sin\theta dr + r \cos \theta d\theta) \\ &= - \dfrac{r\sin\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}(\cos\theta dr - r \sin \theta d\theta) \\ &\quad + \dfrac{r\cos\theta}{r^{2}\cos^{2}\theta + r^{2}\sin^{2}\theta}(\sin\theta dr + r \cos \theta d\theta) \\ &= -\dfrac{\sin\theta \cos\theta}{r}dr + \sin^{2}\theta d\theta + \dfrac{\cos\theta \sin\theta}{r}dr + \cos^{2}\theta d\theta \\ &= d\theta \end{align*} $$

따라서

$$ \int - \dfrac{y}{x^{2} + y^{2}}dx + \dfrac{x}{x^{2} + y^{2}}dy = \int d\theta $$

성질

$M, N$을 각각 $m, n$차원 미분다양체, $f : M \to N$라고 하자. $\omega, \varphi$를 $N$ 위의 $k$-형식이라고 하자. $g$를 $N$ 위의 $0$-형식이라고 하자. $\varphi_{i}$들을 $N$ 위의 $1$-형식이라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align} f^{\ast} (\omega + \varphi) =&\ f^{\ast}\omega + f^{\ast}\varphi \tag{a} \\ f^{\ast} (g \omega) =&\ (f^{\ast}g) (f^{\ast}\omega) \tag{b} \\ f^{\ast} (\varphi_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k}) =&\ f^{\ast}(\varphi_{1}) \wedge \cdots \wedge f^{\ast}(\varphi_{k}) \tag{c} \end{align} $$

이때 $+$와 $\wedge$는 각각 $k$-형식의 합과 쐐기곱이다.

$\omega, \varphi$를 $N$위의 임의의 두 형식이라고 하자. $L$을 $l$차원 미분다양체, $g : L \to N$이라고 하자.

$$ \begin{align*} f^{\ast}(\omega \wedge \varphi) &= (f^{\ast}\omega) \wedge (f^{\ast}\varphi) \tag{d} \\ (f \circ g)^{\ast} \omega &= g^{\ast}(f^{\ast}\omega) \tag{e} \end{align*} $$

증명

증명 $(a)$

$$ \begin{align*} (f^{\ast}(\omega + \varphi))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ (\omega + \varphi)_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ \omega_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) + \varphi_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ (f^{\ast} \omega)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) + (f^{\ast} \varphi)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) \\ =&\ \left( f^{\ast}\omega + f^{\ast}\varphi \right)_{p}(v_{1}, \dots, v_{k}) \end{align*} $$

증명 $(b)$

$0$-형식 $g$와 $k$-형식 $\omega$의 곱을 다음과 같이 정의하자.

$$ (g\omega)(p) = g(p) \omega(p) $$

여기서 $g(p) = g_{p}$는 스칼라, $\omega(p) = \omega_{p}$는 함수임에 주의하라. 그러면,

$$ \begin{align*} (f^{\ast} (g\omega))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ g\omega_{f(p)} \left( df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k} \right) \\ =&\ g_{f(p)} \omega_{f(p)} (df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k}) \\ =&\ g\circ f(p) \omega_{f(p)} (df_{p}v_{1}, \dots, df_{p}v_{k}) \\ =&\ (f^{\ast}g)_{p} (f^{\ast}\omega)_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) \end{align*} $$

증명 $(c)$

$$ \begin{align*} (f^{\ast}\left( \varphi_{1} \wedge \cdots \wedge \varphi_{k} \right))_{p} (v_{1}, \dots, v_{k}) =&\ (\varphi_{1} \wedge \dots \wedge \varphi_{k})_{f(p)} \left( df_{1}, \dots, df_{k} \right) \\ =&\ \det [\varphi_{i}df(v_{j})] \\ =&\ \det [ f^{\ast} \varphi_{i}(v_{j})] \\ \end{align*} $$


  1. Manfredo P. Do Carmo, Differential Forms and Applications, p6-8 ↩︎

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