실수값을 갖는 가측 함수의 성질

실수값을 갖는 가측 함수의 성질

정리1

가측공간 $(X,\mathcal{E})$에서 정의된 두 함수 $f, g : X \to \mathbb{R}$가 가측 함수이면, 다음의 함수들도 모두 가측이다.

$$ cf,\quad f^2,\quad f+g,\quad fg,\quad |f| $$

증명

가측함수

모든 $\alpha \in \mathbb{R}$에 대해서 다음의 식을 만족하는 $f : X \to \overline{\mathbb{R}}$를 가측함수라고 한다.

$$ S_f(\alpha):=\left\{ x\in X\ |\ f(x) >\alpha \right\} \in \mathcal{E},\quad \forall \alpha \in \mathbb{R} $$

$cf$

$f^2$

$f+g$

$r\in \mathbb{Q}$라 하자. 그리고 다음과 같은 집합을 정의하자.

$$ S_r :=\left\{ x \in X\ |\ f(x) > r \right\} \cap \left\{ x \in X\ |\ g(x) > \alpha -r \right\} $$

그러면 우변의 두 집합이 $\mathcal{E}$의 원소이므로 $\sigma$-대수의 정의에 따라 그 둘의 교집합인 $S_r$도 $\mathcal{E}$의 원소이다. 따라서 $S_r$의 가산합집합도 $\mathcal{E}$의 원소이다. 즉, 아래의 등식을 보이면 증명완료이다.

$$ \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_r $$

식이 너무 기므로 간단히 $\left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\}=\left\{ f+g>\alpha \right\}$라고 하자.

Part 1Part 2 에 의하여 다음이 성립한다.

$$ \left\{ x \in X\ |\ (f+g)(x) > \alpha \right\} = \bigcup_{r\in\mathbb{Q}}S_r $$

$fg$

$fg=\dfrac{1}{4} \big[ (f+g)^2 - (f-g)^2 \big]$이므로 위의 세 결과에 의해 성립한다.

$|f|$


  1. Robert G. Bartle, The Elements of Integration and Lebesgue Measure (1995), p9-10 ↩︎

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