스칼라 삼중곱

스칼라 삼중곱

정의

다음과 같은 식을 스칼라 삼중곱scalar triple product이라 한다.

$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) $$

설명

스칼라 삼중곱은 벡터 3개를 곱하는 연산 중에서 결과가 스칼라인 것을 말한다. 결과가 벡터인 것은 벡터 삼중곱이라 한다. 결과가 스칼라로 나오기 위해서는 우선 두 벡터를 외적해서 나온 벡터와 다른 벡터를 내적해야한다.

스칼라 삼중곱의 특징을 하나씩 살펴보자.

성질

스칼라 삼중곱의 크기는 세 벡터가 만드는 평행육면체의 부피와 같다

$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} )=|\mathbf{A}||\mathbf{B}\times \mathbf{C}| \cos\theta $$

$ |\mathbf{B} \times \mathbf{C}|$는 평행육면체 바닥의 넓이, $|\mathbf{A} \cos\theta|$는 높이이다. 즉, 스칼라 삼중곱은 바닥의 넓이와 높이의 곱이므로 육면체의 부피이다.

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이 특징을 자세히 살펴보면 어떤 순서로 연산하더라도 같은 값이 나와야함을 알 수 있다. 왜냐하면 세 벡터가 만드는 평행육면체는 유일하기 때문이다. 따라서 다음의 식이 성립한다.

$\mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \mathbf{B}\cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A} ) =\mathbf{C}\cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B} )$

레비-치비타 심볼을 사용해서 간단하게 증명할 수 있다.

$$ \mathbf{A} \cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = A_i (B \times C)_i =A_i \epsilon_{ijk} B_jC_k =\epsilon_{ijk}A_iB_jC_k $$

$$ \mathbf{B} \cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{A} ) = B_i (C \times A)_i =B_i \epsilon_{ijk} C_jA_k =\epsilon_{ijk}B_iC_jA_k $$

$$ \mathbf{C} \cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{B} ) = C_i (A \times B)_i =C_i \epsilon_{ijk} A_jB_k =\epsilon_{ijk}C_iA_jB_k $$

레비-치비타 심볼의 성질에 의해서 위의 세 식이 같은 값이라는 것을 알 수 있다. ABC든, BCA든, CAB든 순서만 맞으면 어떻게 계산해도 같은 값이다. 반대로 말하자면 순서가 다르면 다른 값이다. 연산에 포함된 외적의 결과가 벡터이므로 방향이 중요하기 때문이다.

$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) \neq \mathbf{A}\cdot (\mathbf{C} \times \mathbf{B} ) $$

$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) \neq \mathbf{B}\cdot (\mathbf{A} \times \mathbf{C} ) $$

이러한 성질로 인해서 스칼라 삼중곱을 다음과 같은 표기법으로 나타내기도 한다.

$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \left[ \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} \right] $$

스칼라 삼중곱은 행렬식의 모양으로도 나타낼 수 있다. 직교좌표계의 경우 다음과 같다.

$$ \mathbf{A}\cdot (\mathbf{B} \times \mathbf{C} ) = \epsilon_{ijk}A_iB_jC_k=\begin{vmatrix} A_i & A_j & A_k \\ B_i&B_j&B_k \\ C_i&C_j&C_k \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} A_{x} & A_{y} & A_{z} \\ B_{x}&B_{y}&B_{z} \\ C_{x}&C_{y}&C_{z} \end{vmatrix} $$

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