리만(-스틸체스) 적분가능성은 구간 내에서 보존된다

리만(-스틸체스) 적분가능성은 구간 내에서 보존된다

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리 1

함수 $f$가 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스)적분 가능하다고 하자. 그리고 $a<c<b$라고 하자. 그러면 $f$는 $[a,c]$와 $[c,b]$에서도 적분이 가능하며 그 적분값의 합은 $[a,b]$에서의 적분값과 같다.

$$ \int_{a}^{c}fd\alpha + \int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}f d\alpha $$

증명

첫번째 파트에서는 $f$가 구간 $[a,c]$와 $[c,b]$에서 적분이 가능함을 보인다. 두번째 파트에서는 나뉜 구간에서의 적분값을 더하면 전체 구간에서의 적분값과 같다는 것을 보인다.



  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p128-129 ↩︎

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