리만(-스틸체스) 적분가능성은 구간 내에서 보존된다

리만(-스틸체스) 적분가능성은 구간 내에서 보존된다

properties of riemann stieltjes integral

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리 1

함수 $f$가 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스)적분 가능하다고 하자. 그리고 $a<c<b$라고 하자. 그러면 $f$는 $[a,c]$와 $[c,b]$에서도 적분이 가능하며 그 적분값의 합은 $[a,b]$에서의 적분값과 같다.

$$ \int_{a}^{c}fd\alpha + \int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}f d\alpha $$

증명

첫번째 파트에서는 $f$가 구간 $[a,c]$와 $[c,b]$에서 적분이 가능함을 보인다. 두번째 파트에서는 나뉜 구간에서의 적분값을 더하면 전체 구간에서의 적분값과 같다는 것을 보인다.


  • Part 1 $f$는 $[a,c]$, $[c,b]$에서 적분 가능하다

    양수 $\varepsilon >0$가 주어졌다고 하자. 그러면 $f$가 적분가능할 필요충분조건에 의해 아래의 식을 만족하는 $[a,b]$의 분할 $P=\left\{ a=x_{0},\cdots,x_{n}=b \right\}$가 존재한다.

    $$ U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) < \varepsilon $$

    그리고 $P^{\ast}=P\cup \left\{ c \right\}$라고 하자. 그러면 $P^{\ast}$는 $P$의 세분이다. 이제 $P^{\ast}$를 아래와 같이 나누자.

    $$ P_{1}^{\ast}=\left\{a=x_{0},\cdots,c\right\} \quad \text{and} \quad P_{2}^{\ast}=\left\{ c,\cdots,x_{n}=b \right\} $$

    그러면 상합, 하합의 정의에 의해 아래의 식이 성립함은 자명하다.

    $$ \begin{align*} U(P_{1}^{\ast},f,\alpha) + U(P_{2}^{\ast},f,\alpha)&=U(P^{\ast},f,\alpha) \\ L(P_{1}^{\ast},f,\alpha) + L(P_{2}^{\ast},f,\alpha)&=L(P^{\ast},f,\alpha) \end{align*} $$

    따라서 아래의 부등식이 성립한다. $$ U(P_{i}^{\ast},f,\alpha) -L(P_{i}^{\ast},f,\alpha) \le U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f, \alpha)\quad (i=1,2) $$

    또한 세분의 상합(하합)은 분할보다 더 작으므로(크므로) 다음이 성립한다.

    $$ \begin{align*} U(P_{i}^{\ast},f,\alpha) -L(P_{i}^{\ast},f,\alpha) &\le U(P^{\ast},f,\alpha)-L(P^{\ast},f,\alpha) \\ &\le U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) \\ &< \varepsilon \end{align*} $$

    따라서 적분 가능할 필요충분조건에 의해 $f$는 $[a,c]$, $[c,b]$에서 적분 가능하다.

  • Part 2 $\displaystyle \int_{a}^{c}fd\alpha +\int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}fd\alpha$

    적분의 정의에 의해서 아래의 부등식이 성립한다.

    $$ \int_{a}^{b}fd\alpha \le U(P^{\ast},f,\alpha)=U(P_{1}^{\ast},f,\alpha)+U(P_{2}^{\ast},f, \alpha) $$

    또한 아래의 부등식이 성립한다.

    $$ \begin{align*} U(P_{1}^{\ast},f,\alpha) &< \int_{a}^{c}fd\alpha +\varepsilon \\ U(P_{2}^{\ast},f,\alpha) &< \int_{c}^{b}fd\alpha +\varepsilon \end{align*} $$

    따라서 다음이 성립한다.

    $$ \begin{equation} \int_{a}^{b}fd\alpha < \int_{a}^{c}fd\alpha+\int_{c}^{b}fd\alpha +2\varepsilon \label{eq1} \end{equation} $$

    같은 방식으로 아래의 부등식도 성립한다

    $$ \begin{align} \int_{a}^{c}fd\alpha +\int_{c}^{b}f d\alpha & \le U(P_{1}^{\ast},f,\alpha)+U(P_{2}^{\ast},f,\alpha) \nonumber \\ &=U(P^{\ast}f,a\alpha) \nonumber \\ &< \int_{a}^{b}fd\alpha +\varepsilon \label{eq2} \end{align} $$

    $\varepsilon$는 임의의 양수이므로 $\eqref{eq1}, \eqref{eq2}$에 의해 아래의 등식이 성립한다

    $$ \int_{a}^{c}fd\alpha +\int_{c}^{b}fd\alpha=\int_{a}^{b}fd\alpha $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p128-129 ↩︎

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