곡선을 따라서 평행한 벡터필드의 성질

곡선을 따라서 평행한 벡터필드의 성질

Properties of Parallel Vector Field along a Curve

성질

$X(t)$와 $Y(t)$를 곡면 $M$ 위의 정칙 곡선 $\alpha(t)$를 따라 평행한 벡터필드라고 하자. 그러면 $X$의 크기 $\left\| X(t) \right\|$와 $X(t), Y(t)$사이의 각도는 상수이다.

설명

다시 말해 각도와 크기가 보존된다.

증명

$f(t) = \left\langle X(t), Y(t) \right\rangle$라고 하자. $f$를 미분해보면, 내적의 미분법에 의해, 다음과 같다.

$$ \dfrac{d f}{d t} = \left\langle \dfrac{d X}{d t}, Y \right\rangle + \left\langle X, \dfrac{d Y}{d t} \right\rangle = 0 + 0 = 0 $$

이때 $X(t), Y(t)$는 $M$의 탄젠트 벡터이고, $\dfrac{d X}{d t}(t), \dfrac{d Y}{d t}(t)$는 정의에 의해 탄젠트 벡터와 직교하므로 내적은 $0$이다. 따라서 $f(t)$는 상수이다. $Y=X$로 두면 $\left\| X(t) \right\|$가 상수라는 결과를 얻는다.

이제 $X(t)$와 $Y(t)$ 사이의 각도를 $\theta$라고 하면 다음을 얻는다.

$$ \dfrac{f(t)}{\left\| X (t) \right\| \left\| Y(t) \right\|} = \cos \theta $$

이때 $f(t), \left\| X (t) \right\|, \left\| Y(t) \right\|$ 모두 상수이므로 $\cos \theta$도 상수이다. 따라서 둘 사이의 각도는 상수이다.

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