선형변환의 성질

선형변환의 성질

정리11

선형변환 $T: V \to W$에 대해서 다음의 두 명제는 동치이다.

설명

이는 $T$의 커널을 파악하는 것이 $T$가 일대일인지 아닌지를 판별하는 방법이라는 말이다. 위 정리에 의해서 선형변환이 일대일이라는 것은 다음의 조건과 동치이다.

$$ \mathbf{x} \ne \mathbf{0} \implies T(\mathbf{x}) \ne \mathbf{0} $$

증명

정리2

선형변환 $T: V \to V$에 대해서, $V$가 유한차원이면, 다음의 명제들은 동치이다.

설명

이는 정리1에서 $V$가 유한차원이고 $W=V$인 특수한 경우이다. 처음 두 명제가 동치임은 정리1에서 증명되었으므로 첫번째, 세번째 명제가 동치인 것을 증명한다.

증명2

$S = \left\{ \mathbf{v}_{1}, \dots, \mathbf{v}_{n} \right\}$를 $V$의 기저라고 하자. 그러면 모든 $T(\mathbf{v})$는 $T(\mathbf{v}_{i})$들의 선형변환으로 나타나므로 다음의 집합 $Q$가 $R(T)$를 생성한다는 것을 알 수 있다.

$$ Q = \left\{ T(\mathbf{v}_{1}),\dots T(\mathbf{v}_{n}) \right\} $$

여기서 $Q$의 원소의 개수가 $\dim(V)=n$이므로, $Q$가 선형독립인 것은 $Q$가 $V$를 생성하는 것과 동치이다. 그런데 $Q$가 $R(T)$를 생성하므로, $Q$가 선형독립임을 보이는 것은 $R(T)=V$임을 보이는 것과 같다. 따라서 증명은 다음을 증명하는 것으로 바뀐다.

$T$가 일대일이다 $\iff$ $Q$가 선형독립이다

  1. Howard Anton, Elementary Linear Algebra: Aplications Version (12th Edition, 2019), p460-462 ↩︎

  2. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p207 ↩︎

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