선형작용소의 성질

선형작용소의 성질

정리 1

$T : (X , \left\| \cdot \right\|_{X}) \to ( Y , \left\| \cdot \right\|_{Y} )$ 가 선형작용소라고 하자.

(a) $T$가 유계이면 모든 $x \in X$ 에 대해 $\left\| T(x) \right\|_{Y} \le \left\| T \right\| \left\| x \right\|_{X}$

(b) $T$는 연속 $\iff$ $T$ 는 유계

(c) $X$가 유한 차원 공간이면 $T$ 는 연속이다.

(d) $Y$가 바나흐 공간이면 $( B(X,Y) , \| \cdot \| )$는 바나흐 공간이다.

설명

$B(X,Y)$ 는 유계 선형작용소들의 공간이므로 (b) 에 의해 이 공간의 작용소들은 모두 연속임을 알 수 있다. 선형인것만 해도 쓸만한데 연속일 뿐만 아니라 컴플리트라면 어마어마하게 좋은 공간인 것은 확실하다.

**(a)**는 굉장히 자주 사용하는데, 큰 문제가 없다면 보통은 그냥 $\| Tx \| \le \| T \| \| x \| $ 라 쓴다.

(d) 에서 놈 $\| \cdot \|$는 작용소 놈이다.

증명

(a)

Strategy: $\| x \|_{X}$ 가 스칼라라는 점을 이용해 $T$ 의 안팎으로 넘나든다.


$T$ 가 유계이므로 어떤 $c> 0$ 에 대해

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} \le c $$

$\| x \|_{X}$ 는 스칼라고 $T$ 는 선형이므로

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} =\left\| {{1} \over {\| x \|_{X} }} T \left( x \right) \right\|_{Y} = \left\| T \left( {{x} \over {\| x \|_{X} }} \right) \right\|_{Y} $$

작용소놈의 정의에서 $\left\| T \right\| = \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y}$ 이므로

$$ {{ \| T(x) \|_{Y} } \over { \| x \|_{X} }} = \left\| T \left( {{x} \over {\| x \|_{X} }} \right) \right\|_{Y} \le \sup \limits_{\substack{x\in X \\ \left\| x \right\|=1 }} \left\| T(x) \right\|_{Y} = \| T \| $$

양변에 스칼라 $\| x \|_{X}$ 를 곱하면

$$ \| T(x) \|_{Y} \le \| T \| \| x \|_{X} $$

(b)

Strategy: $(\impliedby)$ 입실론-델타 논법으로 직접 연역한다. $(\implies)$ 귀류법을 사용하며 연속성에 따르면 가정에 모순이 될 수열을 만들어낸다.


(c)

Strategy: (b) 에 의해 연속성을 보이려면 유계임을 보이는 것으로 충분하다. 유한 차원 공간의 성질을 이용하면 $T$ 가 유계임을 보이는 것은 비교적 간단하다.


$\dim X = n$ 이라고 하면 $X$ 는 베이시스 $\left\{ e_{1} , \cdots , e_{n} \right\}$ 를 갖고 임의의 $x \in X$ 는 $t_{i} \in \mathbb{C}$ 에 대해

$$ x = \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} $$

$T$ 는 선형작용소이므로

$$ Tx = T \left( \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right) = \sum_{i=1}^{n} | t_{i} | T \left( e_{i} \right) $$

각 변에 놈 $\| \cdot \|_{Y}$ 을 취하면

$$ \begin{equation} \| Tx \|_{Y} = \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} T \left( e_{i} \right) \right\|_{Y} \le \sum_{i=1}^{n} | t_{i} | \| T ( e_{i} ) \|_{Y} \le \max_{1 \le i \le n} \| T ( e_{i} ) \|_{Y} \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} | \end{equation} $$

이제 새로운 놈 $\displaystyle \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} := \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} |$ 을 정의하자. 유한 차원 벡터스페이스에서 정의된 놈은 모두 동치이므로

$$ C \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} \le \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{X} $$

을 만족하는 $C>0$ 가 존재한다. 따라서

$$ \sum_{i=1}^{n} | t_{ i} | = \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{1} \le {{1} \over {C}} \left\| \sum_{i=1}^{n} t_{i} e_{i} \right\|_{X} = {{1} \over {C}} \| x \|_{X} $$

$(1)$ 에 적용하면

$$ \| T x \|_{Y} \le {{1} \over {C}} \max_{1 \le i \le n} \| T(e_{i} ) \|_{Y} \cdot \| x \|_{X} $$

따라서 $\displaystyle \| T \| \le {{1} \over {C}} \max_{1 \le i \le n} \| T(e_{i} ) \|_{Y} < \infty$ 인데, $T$ 는 유계 선형작용소이므로 (b) 에 의해 연속이다.

(d)

Strategy: 바나흐 공간 $Y$ 에서 완비성을 끌어내 $T(x) \in T(X) \subset Y$ 에 대한 논의로 바꾼다.



  1. Kreyszig. (1989). Introductory Functional Analysis with Applications: p92~97, 118~119. ↩︎

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