거리공간에서 함수의 극한의 성질

거리공간에서 함수의 극한의 성질

properties of limits of functions in metric space

정리1

$(X,d)$는 거리공간, $E\subset X$는 부분집합, $p$는 $E$의 집적점이라고 하자. 그리고 $E$에서 정의된 두 복소수값 함수 $f:E\to \mathbb{C}$, $g: E\to \mathbb{C}$가 주어졌다고 하자. 그리고 두 함수가 각각 $p$에서 아래와 같은 극한을 갖는다고 하자.

$$ \begin{equation} \lim \limits_{x \to p}f(x)=A \quad \text{and} \quad \lim \limits_{x \to p}g(x)=B \tag{1} \label{thm1} \end{equation} $$

그러면 다음이 성립한다.

(a) $\lim \limits_{x \to p}(f+g)(x)=A+B$

(b) $\lim \limits_{x \to p}(fg)(x)=AB$

(c) $\lim \limits_{x \to p}\left( \frac{f}{g} \right)(x) = \frac{A}{B},\ B\ne 0$

증명

(a)

보조정리1

$X$, $Y$, $E$, $f$, $p$가 정의에서 설명한 것과 같다고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

  • $\lim \limits_{x\to p}f(x) = q$

  • $p_{n}\ne p$이고 $\lim \limits_{n\to\infty}p_{n}=p$인 모든 $E$의 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서

    $$ \lim \limits_{n\to\infty}f(p_{n})=q $$

보조정리1에 의해 (1a) 를 보이는 것은 $p$로 수렴하는 모든 수열 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서 수열 $\left\{ (f+g)(p_{n}) \right\}$이 $A+B$로 수렴하는 것을 보이는 것과 같다. 그런데 $\eqref{thm1}$과 같이 가정했으므로 수열 $\left\{ f(p_{n}) \right\}$과 $\left\{ g(p_{n}) \right\}$은 각각 $A$, $B$로 수렴한다.

보조정리2

$\left\{ s_{n} \right\}$, $\left\{ t_{n} \right\}$이 실수(혹은 복소수) 수열이고 $\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=s$, $\lim\limits_{n\to\infty}t_{n}=t$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  • $\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}+t_{n})=s+t$

  • $\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st$

  • $\forall s_{n}\ne 0,s\ne0,\quad \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s}$

그러면 보조정리2의 첫번째 성질에 의해서, $p$로 수렴하는 모든 $\left\{ p_{n} \right\}$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \lim \limits_{n\to\infty} (f(p_{n})+g(p_{n}))=A+B $$

(b) (c)

위에서와 마찬가지로 각각 보조정리2의 두번째, 세번째 성질에 의해 성립한다.

정리2

정리1에서와 비슷하게 $\mathbf{f}:E \to \mathbb{R}^{k}$, $\mathbf{g}:E\to \mathbb{R}^{k}$라고 하자. 그리고

$$ \lim \limits_{x \to p}\mathbf{f}(x)=\mathbf{A} \quad \text{and} \quad \lim \limits_{x \to p} \mathbf{g}(x)=\mathbf{B} $$

라고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \lim \limits_{x \to p} (\mathbf{f}\cdot \mathbf{g})(x)=\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} $$


정리1유클리드 공간 $\mathbb{R}^{k}$에서 수렴하는 수열의 성질을 이용하면 바로 얻는 사실이므로 따로 증명하지는 않는다.

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