임의의 연산자에 대해서 항상 허미션 연산자인 모양

임의의 연산자에 대해서 항상 허미션 연산자인 모양

properties of hermitian


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임의의 연산자 $A$에 대해서 아래의 꼴은 항상 허미션 연산자이다.$(1)\ A+A^\dagger $$ (2)\ i(A-A^\dagger) $$ (3)\ AA^\dagger$

원래의 식에 대거$^\dagger$를 취해도 원래의 모양임을 보이면 증명 끝.

증명$(1)$

$(A+A^\dagger)^\dagger=A^\dagger+{(A^\dagger)}^\dagger=A^\dagger+A=A+A^\dagger$

증명$(2)$

$[i(A-A^\dagger) ]^\dagger=-i\left[ A^\dagger-{(A^\dagger)}^\dagger \right]=-i(A^\dagger-A)=i(A-A^\dagger)$

증명$(3)$

$(AA^\dagger)^\dagger={(A^\dagger)}^\dagger A^\dagger=AA^\dagger$

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