허미션 연산자의 여러가지 성질

허미션 연산자의 여러가지 성질

정리

$0.$ 허미션 연산자란?

  1. 허미션 연산자의 기댓값(고유값)은 항상 실수이다.

  2. 허미션 연산자의 서로 다른 두 고유함수(고유벡터)는 직교한다.

  3. 허미션 연산자 $A$에 대해서 다음의 식이 성립한다.**

$<A\psi|\phi>=<\psi|A\phi>$

증명 $\begin{align*} <A\psi|\phi> =&\ \int(A\psi)^{\ast}\phi dx \\ =&\ \int \psi^{\ast} A^{\ast} \phi dx \\ =&\ <\psi|A^{\ast}\phi> \\ =&\ <\psi|A\phi> \end{align*}$※ $^{\ast}$는 $^\dagger$와 같은 표현이다.**$4.$ 두 허미션 연산자$A,B$의 곱 $AB$가 허미션 연산자일 조건은 $[A,B]=0$이다. $5.$ 임의의 연사자 $A$에 대하여 아래의 식은 항상 허미션 연산자이다.

$(1)\ A+A^\dagger $$ (2)\ i(A-A^\dagger) $$ (3)\ AA^\dagger$

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