발산하는 실수열의 성질

발산하는 실수열의 성질

properties of divergent real sequence

정리1

$\left\{ x_{n} \right\}$, $\left\{ y_{n} \right\}$이 실수열이고 $\lim \limits_{n\to\infty} x_{n}=\infty(-\infty)$라고 하자. 그러면 다음이 성립한다.

  • (a) $\left\{ y_{n} \right\}$이 아래로 유계(위로 유계)이면, $\lim \limits_{n\to\infty}(x_{n}+y_{n}) = \infty(-\infty)$

  • (b) $\forall \alpha > 0,\quad \lim \limits_{n\to\infty} \alpha x_{n} = \infty (-\infty)$

  • (c) 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해서 $y_{n} > M_{0}$인 $M_{0} >0$가 존재하면, $\lim \limits_{n\to\infty} x_{n}y_{n} = \infty(-\infty)$

  • (d) $\left\{ y_{n} \right\}$이 유계이고 모든 $n\in \mathbb{N}$에 대해서 $x_{n} \ne 0$이면, $\lim \limits_{n\to \infty} \dfrac{y_{n}}{x_{n}} = 0$

증명

(a)

가정에 의해서 모든 $n$에 대해서 $y_{n} \ge M_{0}$인 $M_{0} \in \mathbb{R}$이 존재한다. 임의의 $M \in \mathbb{R}$을 고정하고 $M_{1}=M-M_{0}$라고 하자. $\left\{ x_{n} \right\}$이 발산하므로 다음을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$$ n \ge N \implies x_{n} > M_{1} $$

그러면 다음의 식이 성립하므로 증명 끝.

$$ n \ge N \implies x_{n} + y_{n}> M_{1} + M_{0} > M $$

(b)

$M\in \mathbb{R}$이고 임의의 $\alpha > 0$에 대해서 $M_{1}= M / \alpha$라고 하자. $\left\{ x_{n} \right\}$이 발산하므로 다음을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$$ n \ge N \implies x_{n} > M_{1} $$

그러면 다음의 식이 성립하므로 증명 끝.

$$ n \ge N \implies \alpha x_{n} > \alpha M_{1} = M $$

(c)

$M\in \mathbb{R}$이고 $M_{1}= M / M_{0}$라고 하자. $\left\{ x_{n} \right\}$이 발산하므로 다음을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$$ n \ge N \implies x_{n} > M_{1} $$

그러면 다음의 식이 성립하므로 증명 끝.

$$ n \ge N \implies \alpha x_{n}y_{n} > \alpha M_{1}M_{0} = M $$

(d)

$\epsilon > 0$이라고 하자. $\left\{ y_{n} \right\}$이 유계이므로 $| y_{n} | \le M_{0}$인 $M_{0}>0$가 존재한다. 그리고 $\dfrac{M_{0}}{M_{1}} < \epsilon$을 만족하는 충분히 큰 $M_{1}>0$를 선택하자. 그러면 $\left\{ x_{n} \right\}$이 유계이므로 다음을 만족하는 $N \in \mathbb{N}$이 존재한다.

$$ n \ge N \implies x_{n} > M_{1} $$

그러면 다음의 식이 성립하므로 증명 끝.

$$ n \ge N \implies \left| \dfrac{y_{n}}{x_{n}} - 0 \right| = \dfrac{| y_{n} |}{x_{n}} < \dfrac{M_{0}}{M_{1}} < \epsilon $$


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p49-50 ↩︎

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