잉여류의 성질과 그 증명

잉여류의 성질과 그 증명

properties of cosets and its proof

정리

$H$를 $G$의 부분군이라고 하자. 그러면 군 $G$의 원소 $a$에 대해서 집합 $aH= \left\{ ah | h\in H \right\}$를 좌잉여류라 한다. $Ha = \left\{ ha | h\in H \right\}$를 우잉여류라 한다.

$H < G,\enspace a,b \in G,\enspace h \in H$라고 하자. 그러면 아래의 성질들을 만족한다.

  1. $a \in aH$

  2. $aH=H \iff a \in H$

  3. $aH=bH \iff a \in bH$

  4. $aH=bH \ \ \mathrm{or} \ \ aH\cap bH = \varnothing$

  5. $aH=bH \iff a^{-1}b \in H$

  6. $|aH|=|bH|$

  7. $aH=Ha \iff H=aHa^{-1}$

  8. $aH \le G \iff a\in H$

증명

1.

$H$는 부분군이므로 항등원을 원소로 가진다. $aH$는 $a$와 $H$의 원소를 연산하여 나온 값을 원소로 가지므로 $a=ae \in aH$이고, $a\in aH$이다.

2.

  • $(\Longrightarrow)$

    $aH=H$라고 가정하자. 그러면 성질1에 의해서 $a\in aH=H$이다.

  • $(\Longleftarrow)$

    $a\in H$라고 가정하자. $H$는 군이므로 연산에 닫혀있다. 따라서 $ah\in H$이고, $aH$의 임의의 원소가 $H$에 들어가므로 $aH \subset H$이다. 같은 이유로 $a^{-1}h \in H$에서

    $$ h=eh=(aa^{-1})h=a(a^{-1}h) \in aH $$

    이고, $H$의 임의의 원소가 $aH$에 들어가므로 $H \subset aH$이다. 포함관계가 양쪽으로 성립하므로, $aH=H$이다.

3.

  • $(\Longrightarrow)$

    $aH=bH$라고 가정하자. 성질1에 의해 $a\in aH$이고 가정에 의해 $a \in bH$ 다.

  • $(\Longleftarrow)$

    $a \in bH$라고 가정하자. 그러면 $a=bh$로 나타낼 수 있고, 다음을 얻는다.

    $$ aH=(bh)H=b(hH)=bH $$

4.

$c \in aH \cap bH$를 만족하는 $c$가 존재한다고 하자. 그러면 성질3에 의해 $cH=aH$이고 $cH=bH$이므로 $aH=bH$다. 반대로 $c \in aH \cap bH$를 만족하는 $c$가 존재하지 않는다고 하면 $aH \cap bH = \varnothing$ 이다.

5.

  • $(\Longrightarrow)$

    $aH=bH$라고 가정하자. 그러면 성질3에 의해 $b \in aH$이고 $b=ah$라고 나타낼 수 있으므로 $a^{-1}b=a^{-1}(ah)=h \in H$이다.

  • $(\Longleftarrow)$

    $a^{-1}b \in H$라고 가정하자. 그러면 $a^{-1}b=h$이고 $b=ah$이다. $b = ah \in aH$이고 성질3에 의해서 $aH=bH$이다.

6.

함수 $f : aH \rightarrow bH$ 를 생각해보자. $ah$를 $bh$에 대응시키면 함수 $f$는 전단사함수가 된다. 따라서 $|aH| = |bH|$다.

7.

  • $(\Longrightarrow)$

    $aH=Ha$라고 가정하고 $aH$를 다시 $H’$이라고 하자. 그러면 $aH=Ha=H’$이고 $H’a^{-1}=H’a^{-1}$인 것은 자명하다. 양변의 $H’$에 각각 $aH$와 $Ha$를 대입하면

    $$ (aH)a^{-1}=(Ha)a^{-1}=H(aa^{-1})=H $$

    이므로 $aHa^{-1}=H$다.

  • $(\Longleftarrow)$

    $H=aHa^{-1}$라고 가정하고 위와 같은 방법으로 $Ha=aHa^{-1}a=aH$를 얻을 수 있다.

8.

  • $(\Longrightarrow)$

    $aH$가 $G$의 부분군이라고 가정하면 $e \in aH$이다. 그런데 $e \in H$이므로 $aH \cap eH \ne \varnothing$이다. 성질4에 의해 $aH=eH=H$을 만족한다. 성질2에 의해 $a \in H$ 다.

  • $(\Longleftarrow)$

    $a \in H$라고 가정하자. 성질2에 의해 $aH=H$이다. $H$는 $G$의 부분군이므로 $aH$도 $G$의 부분군이다.

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