수렴하는 실수열의 성질

수렴하는 실수열의 성질

properties of convergent realcomplex sequences

정리11

$\left\{ s_{n} \right\}$, $\left\{ t_{n} \right\}$이 실수(혹은 복소수) 수열이고 $\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=s$, $\lim\limits_{n\to\infty}t_{n}=t$라고 하자. 그러면

  • (a) $\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}+t_{n})=s+t$

  • (b) $\forall c \in \mathbb{C},\quad\lim \limits_{n\to\infty} cs_{n}=cs \quad \text{and} \quad \lim \limits_{n\to\infty} (c+s_{n})=c+s$

  • (c) $\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st$

  • (d) $\forall s_{n}\ne 0,s\ne0,\quad \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s}$


물론 $\mathbb{R}^{k}$에 대해서도 확장할 수 있다. 정리2에서 확인하자.

증명

(a)

임의의 양수 $\varepsilon>0$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 조건을 만족시키는 두 양수 $N_{1}$, $N_{2}$가 존재한다.

$$ \begin{align*} n \ge N_{1} &\implies \left|s_{n}-s \right|<\frac{\varepsilon}{2} \\ n \ge N_{2} & \implies \left|t_{n}-t \right|<\frac{\varepsilon}{2} \end{align*} $$

이제 $N=\max(N_{1},N_{2})$라고 하자. 그러면 $n \ge N$에 대해서

$$ \left| (s_{n}+t_{n})-(s+t) \right| \le\left| s_{n}-s \right|+\left| t_{n} -t\right|<\varepsilon $$

이다. 따라서

$$ \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}+t_{n})=s+t $$

(b)

(a) 가 성립한다는 사실에 의해 자명히 성립한다.

$(c)$

임의의 양수 $\varepsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족시키는 두 양수 $N_{1}$, $N_{2}$가 존재한다.

$$ \begin{align*} n \ge N_{1} &\implies \left|s_{n}-s \right|<\sqrt{\varepsilon} \\ n \ge N_{2} & \implies \left|t_{n}-t \right|< \sqrt{\varepsilon} \end{align*} $$

이제 $N=\max (N_{1},N_{2})$라고 하면

$$ n \ge N \implies \left| (s_{n}-s) (t_{n}-t) \right|<\varepsilon $$

따라서

$$ \begin{equation} \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}-s)(t_{n}-t)=0 \label{eq1} \end{equation} $$

이다. 이때

$$ s_{n}t_{n}-st=(s_{n} -s)(t_{n}-t)+s(t_{n}-t)+t(s_{n}-s) $$

가 성립한다. 위 식에 (a), (b), $\eqref{eq1}$을 적용하면

$$ \begin{align*} \lim \limits_{n\to\infty} (s_{n}t_{n}-st)&=\lim \limits_{n\to\infty}(s_{n}-s)(t_{n}-t)+\lim \limits_{n\to\infty}s(t_{n}-t)+\lim \limits_{n\to\infty}t(s_{n}-s) \\ &= 0+0+ 0 \\ &= 0 \end{align*} $$

따라서

$$ \lim \limits_{n\to\infty} s_{n}t_{n}=st $$

(d)

$\lim \limits_{n\to\infty} s_{n}=s$이라고 가정했으므로 아래의 식을 만족하는 양수 $m$을 선택할 수 있다.

$$ \forall n\ge m,\quad \left|s_{n}-s \right| < \frac{1}{2}\left|s \right| $$

그런데 $\left|s \right|-\left|s_{n} \right| \le \left|s_{n}-s \right|$이므로 위 식으로부터 아래의 식을 얻는다.

$$ \begin{equation} \forall n \ge m,\quad \left|s_{n} \right|>\frac{1}{2}\left|s \right| \label{eq2} \end{equation} $$

이제 임의의 양수 $\varepsilon>0$가 주어졌다고 하자. 그러면 아래의 식을 만족하는 $N$이 존재한다.

$$ \begin{equation} n \ge N \implies \left|s_{n}-s \right| < \frac{1}{2}\left|s \right|^{2}\varepsilon \label{eq3} \end{equation} $$

따라서 $\eqref{eq2}$, $\eqref{eq3}$에 의해, $n \ge N$에 대해서

$$ \left|\frac{1}{s_{n}}-\frac{1}{s} \right|=\left|\frac{s_{n}-s}{s_{n}s} \right|<\frac{2}{\left|s \right|^{2}}\left|s_{n}-s \right|<\varepsilon $$

이므로

$$ \lim \limits_{n\to\infty}\frac{1}{s_{n}}=\frac{1}{s} $$

정리2

$\mathbf{x}_{n} \in \mathbb{R}^{k}$가 $\mathbf{x}_{n}=(x_{n,1},x_{n,2},\cdots,x_{n,k})$라고 하자. 그러면

  • (e) ${\mathbf{x}_{n}}$이 $\mathbf{x}=(x_{1},x_{2},\cdots,x_{k})$로 수렴하는 것의 필요충분조건은 $\lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j} (1\le j \le k)$가 성립하는 것이다.

  • (f) $\left\{ \mathbf{x}_{n} \right\}$, $\left\{ \mathbf{y}_{n} \right\}$을 $\mathbb{R}^{k}$에서의 수열, $\left\{ \beta_{n} \right\}$을 실수열이라고 하자. 그리고 아래의 관계가 성립한다고 가정하자.

    $$ \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x},\quad\lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{y}_{n} = \mathbf{y}, \quad \lim \limits_{n\to\infty} \beta_{n}=\beta $$

    그러면

    $$ \lim \limits_{n\to\infty}(\mathbf{x}_{n}+\mathbf{y}_{n})=\mathbf{x}+\mathbf{y},\quad \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}\cdot \mathbf{y}_{n}=\mathbf{x}\cdot \mathbf{y},\quad \lim \limits_{n\to\infty}\beta_{n}\mathbf{x}_{n}=\beta\mathbf{x} $$

    가 성립한다.

증명

(e)

  • $(\implies)$

    $\mathbf{x}_{n} \to \mathbf{x}$라고 가정하자. 그러면 $\mathbb{R}^{k}$상에서 거리의 정의에 의해

    $$ \left| x_{n,j}- x_{j} \right| \le \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right| $$

    임은 자명하다.2 따라서 가정에 의해, 모든 양수 $\varepsilon$에 대해서

    $$ n \ge N \implies \left| x_{n,j}- x_{j} \right| \le \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right| < \varepsilon $$

    를 만족시키는 $N$이 존재하므로

    $$ \lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j}\quad (1\le j \le k) $$

    이 성립한다.

  • $(\impliedby)$

    각각의 $j$에 대해 $\lim \limits_{n\to\infty} x_{n,j}=x_{j}$가 성립한다고 가정하자. 그러면 모든 양수 $\varepsilon$에 대해서

    $$ n \ge N \implies \left|x_{n,j} -x_{j} \right| <\frac{\varepsilon}{\sqrt{k} } $$

    를 만족시키는 $N$이 존재한다. 따라서 각각의 같은 양수 $\varepsilon$, $N$에 대해서

    $$ n \ge N \implies \left|\mathbf{x}_{n}-\mathbf{x} \right|=\sqrt{\left|x_{n,1}-x_{1} \right|^{2}\cdots\left|x_{n,k}-x_{k} \right|^{2}}<\sqrt{k\frac{\varepsilon^{2}}{k}}=\varepsilon $$

    이므로

    $$ \lim \limits_{n\to\infty} \mathbf{x}_{n}=\mathbf{x} $$

(f)

정리1(e) 에 의해서 성립한다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p49-51 ↩︎

  2. 각 성분의 차이의 제곱을 더한 것이 거리이므로 하나의 성분과 비교하면 위 부등식은 당연히 성립한다. ↩︎

댓글