거리공간에서 연속함수의 성질

거리공간에서 연속함수의 성질

정리1

두 함수 $f$, $g$가 거리공간 $X$에서 복소수 값을 갖는 함수라고 하자.

$$ f:X \to \mathbb{C},\quad g:X \to \mathbb{C} $$

두 함수가 연속이면 $f+g$, $fg$, $f/g$도 연속이다. 단, 마지막 경우에서는 $g(x)\ne 0$인 $x\in X$에 대해서만 성립한다.

증명

보조정리1

$(X,d)$는 거리공간, $E\subset X$는 부분집합, $p$는 $E$의 집적점이라고 하자. 그리고 $E$에서 정의된 두 복소수값 함수 $f:E\to \mathbb{C}$, $g: E\to \mathbb{C}$가 주어졌다고 하자. 그리고 두 함수가 각각 $p$에서 아래와 같은 극한을 갖는다고 하자.

$$ \lim \limits_{x \to p}f(x)=A \quad \text{and} \quad \lim \limits_{x \to p}g(x)=B $$

그러면

  • $\lim \limits_{x \to p}(f+g)(x)=A+B$

  • $\lim \limits_{x \to p}(fg)(x)=AB$

  • $\lim \limits_{x \to p}\left( \frac{f}{g} \right)(x)=\frac{A}{B},\ B\ne 0$

보조정리2 두 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$에 대해서, $E\subset X$이고 $p \in E$, $f : E \to Y$라고 하자. 그러면 아래의 두 조건은 동치이다.

  • $f$가 $p$에서 연속이다.

  • $\lim \limits_{x \to p} f(x)=f(p)$이다.

보조정리1과 보조정리2에 의해서 성립한다.

정리2

$f_{1}$, $f_{2}$, $\cdots$, $f_{k}$가 각각 거리공간 $X$에서 실수값을 갖는 함수라고 하자. 그리고 $\mathbf{f}$를 아래와 같이 정의된 함수라고 하자.

$$ \mathbf{f}: X \to \mathbb{R}^{k} \quad \text{and} \quad \mathbf{f}(x)=(f_{1}(x),\cdots,f_{k}(x)) $$

그러면

(a) $\mathbf{f}$가 연속일 필요충분조건은 각각의 $f_{1},\cdots,f_{k}$가 연속인 것이다.

(b) $\mathbf{g}$도 $\mathbf{f}$와 같은 방식으로 정의된 함수라고 하자. $\mathbf{f}$, $\mathbf{g}$가 연속이면 $\mathbf{f}+\mathbf{g}$, $\mathbf{f}\cdot \mathbf{g}$도 연속이다.

증명

(a)

각각의 $f_{i}$가 연속이라고 가정하자. 그러면 연속의 정의에 의해 각각의 $f_{i}, \varepsilon_{i}$에 대해서

$$ d_{X}(x,p)<\delta_{i} \implies \left| f_{i}(x)-f_{i}(p) \right|< \varepsilon_{i} \quad(i=1,\cdots,k) $$

가 성립하도록 하는 $\delta_{i}$가 존재한다. 따라서 $\delta=\min(\delta_{1},\cdots,\delta_{k})$라고 두면

$$ d_{X}(x,p)<\delta \implies \left| \mathbf{f}(x)-\mathbf{f}(p) \right|=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{k}\left|f_{i}(x) -f_{i}(p) \right|^{2}}<\sum \limits _{i=1} ^{k}\varepsilon_{i}=\varepsilon $$

이므로 $\mathbf{f}$는 연속이다. 반대로 $\mathbf{f}$가 연속이라고 가정하자. 그러면 어떤 $\varepsilon>0$에 대해서

$$ d_{X}(x,p)<\delta \implies \left|f_{i}(x)-f_{i}(p) \right|\le \left|\mathbf{f}(x)-\mathbf{f}(p) \right|<\varepsilon $$

이므로 각각의 $f_{i}$는 연속이다.

(b)

정리1과 (a) 에 의해 성립한다.

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