가법성을 가진 연속함수의 성질

가법성을 가진 연속함수의 성질

정리

설명

$f(x + y) = f(x) + f(y)$ 와 같이 덧셈이 함수를 넘나들면서 보존되는 성질을 가법성이라 하고 곱셈이 보존되는 성질을 승법성이라고 한다. $g$ 는 가법성승법성이 반반 섞인 느낌의 호모몰피즘이다.

증명

전략: 함수의 안팎으로 유리수가 넘나들 수 있음을 먼저 보인 후 $x$ 로 수렴하는 유리수의 수열을 만들어낸다. 연속성이 보장되어있으므로 $\lim$ 역시 함수의 안팎으로 넘나드는 점을 이용한다.

[1]

Part 1. $f(-x) = - f(x)$

가법성에 의해 $$ \displaystyle f( 0 ) = f( 0 + 0 ) = f(0) + f(0) \implies f(0) = 0 $$ 마찬가지로 가법성에 의해 $$ \displaystyle 0 = f( 0 ) = f( x + (-x) ) = f(x) + f( -x ) \implies f(-x) = - f(x) $$


Part 2. $f(qx) = q f(x)$

$n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ f(nx) = f \left( \underbrace{x + \cdots + x}_{n} \right) = \underbrace{f(x) + \cdots + f(x)}_{n} = n f(x) \implies f(nx) = nf(x) $$ $\displaystyle y := {{ x } \over {n}}$ 이라고 두면 $$ \displaystyle f(x) = f(ny) = n f(y) = n f \left( {{x} \over {n}} \right) \implies f \left( {{x} \over {n}} \right) = {{1} \over {n}} f(x) $$ 그리고 Part 1에 따르면 이 성질들은 음수에 대해서도 성립하므로 모든 $q \in \mathbb{Q}$ 에 대해 $$ f(qx) = q f(x) $$


Part 3. $f(x) = mx$

$x \in \mathbb{R}$ 로 수렴하는 유리수의 수열 $\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 정의하면 **Part 2.와 $f$ 의 연속성에 의해 $$ \begin{align} f(x) =& f( x \cdot 1 ) \\ =& f( \lim_{n \to \infty} q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} f( q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} q_{n} f( 1 ) = f(1) x \end{align} $$

[2]

Part 1. $\displaystyle g(-x) = \left( g (x) \right)^{-1}$

$g(x) \ne 0$ 이므로 $$ \displaystyle g( 0 ) = g( 0 + 0 ) = g(0) g(0) \implies g(0) = 1 $$ 마찬가지로 $$ \displaystyle 1 = g( 0 ) = g( x + (-x) ) = g(x) g( -x ) \implies g(-x) = {{1} \over {g(x)}} $$


Part 2. $g(qx) = \left( g(x) \right)^{q}$

$n \in \mathbb{N}$ 에 대해 $$ g(nx) = g \left( \underbrace{x + \cdots + x}_{n} \right) = \underbrace{ g(x) \times \cdots \times g(x)}_{n} = \left( g(x) \right)^{n} \implies g(nx) = \left( g(x) \right)^{n} $$ $\displaystyle y := {{ x } \over {n}}$ 이라고 두면 $$ \displaystyle g(x) = g(ny) = \left( g(y) \right)^{n} = \left( g \left( {{x} \over {n}} \right) \right)^{n} \implies g \left( {{x} \over {n}} \right) = \left( g(x) \right)^{{1} \over {n}} $$ 그리고 Part 1에 따르면 이 성질들은 음수에 대해서도 성립하므로 모든 $q \in \mathbb{Q}$ 에 대해 $$ g(qx) = \left( g(x) \right)^{q} $$


Part 3.

$g(x) = a^x$ 그리고 $x \in \mathbb{R}$ 로 수렴하는 유리수의 수열 $\left\{ q_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N}}$ 을 정의하면 **Part 2.와 $g$ 의 연속성에 의해 $$ \begin{align} g(x) =& g( x \cdot 1 ) \\ =& g( \lim_{n \to \infty} q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} g( q_{n} \cdot 1 ) \\ =& \lim_{n \to \infty} g( 1 )^{q_{n}} \\ =& g( 1 )^{ \displaystyle \lim_{n \to \infty} q_{n}} \\ =& \left( g(1) \right)^{x} \end{align} $$

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