완비 거리 공간의 성질들

완비 거리 공간의 성질들

성질

$(X,d)$ 가 거리 공간이고 $K \subset X$ 라 하자.

설명

완비 거리 공간은 완비성을 가지는 거리 공간이라는 점에서 어지간한 상식적 성질을 다 갖추었다고 볼 수 있는 공간이다. 여기서 놈드 벡터 스페이스가 되면 바나흐 공간, 거기에 내적까지 정의되면 힐베르트 공간이 된다. 한편 놈드 벡터 스페이스랑 상관 없이, 세퍼러블하면 폴란드 공간이라고도 부른다.

증명

[1]

전략(b): $(\Longleftarrow)$ 는 자명하다. $(\Longrightarrow)$에서 $K$가 점렬 컴팩트 공간임을 보인 후 보렐-르벡 정리를 사용한다. 거리 공간 $K$ 가 점렬 컴팩트sequentially compact 공간이라는 것은 $K$ 의 모든 시퀀스가 $K$ 의 한 점으로 수렴하는 서브 시퀀스를 갖는 공간이라는 뜻이다.

[2]

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