교환자의 성질

교환자의 성질

정의

두 연산자 $A, B$에 대해서, $AB - BA$를 $A, B$의 교환자라고 정의라고 다음과 같이 표기한다.

$$ [A,B]=AB-BA $$

교환자의 중요 성질 $$ \leqalignno{ [A, A]=&\0 &(a) \\ [A, B]=&-[B, A] &(b) \\ [A+B, C]=&[A, C] + [B, C] &(c) \\ [AB, C]=&\A[B, C]+[A, C]B &(d) \\ [A,BC] =&\B[A,C]+ [A,B]C &(e) } $$

양자역학을 기술하는 주된 방법이 행렬이다. 그런데 행렬은 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하지 않는다. 그래서 $A,\ B$라는 연산자(행렬)가 있을 때 아래처럼 전개하면 일반적으로 맞지 않다. $$ (A+B)^2=A^2+2AB+B^2 $$ 올바르게 전개하면 $$ (A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2 $$ 이다. 위의 성질들은 교환자를 계산할 때 유용하게 사용되니 숙지하고 있으면 도움이 된다.증명 $(a)$ $$ [A, A]=AA-AA=0 $$

증명 $(b)$ $$ [A,B]=AB-BA=-(BA-AB)=-[B,A] $$

증명 $(c)$ $$ \begin{align*} [A+B,C] =&\ (A+B)C-C(A+B) \\ =&\ AC+BC-CA-CB \\ =&\ (AC-CA) + (BC-CB) \\ =&\ [A,C]+[B,C] \end{align*} $$

증명 $(d)$

$$ \begin{align*} [AB,C] =&\ (AB)C-C(AB) \\ =&\ ABC-CAB \\ =&\ (ABC \color{blue}{-CAB})+(ACB \color{red}{-ACB}) \\ =&\ (ABC \color{red}{-ACB}) + (ACB \color{blue}{-CAB}) \\ =&\ A(BC-CB) +(AC-CA)B \\ =&\ A[B,C] + [A,C]B \end{align*} $$

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증명 $(e)$

$$ \begin{align*} [A,BC] =&\ A(BC)-(BC)A \\ =&\ ABC-BCA \\ =&\ (\color{blue}{ABC} -BCA)+(\color{red}{BAC} -BAC) \\ =&\ ( \color{red}{BAC}-BCA )+(\color{blue}{ABC}-BAC) \\ =&\ B[A,C] + [A,B]C \end{align*} $$ **

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