교환자의 성질

교환자의 성질

Properties of Commutator

정의

두 연산자 $A, B$에 대해서, $AB - BA$를 $A, B$의 교환자라고 정의라고 다음과 같이 표기한다.

$$ [A,B]=AB-BA $$

성질

$$ \begin{align} [A, A] =&\ 0 \\[1em] [A, B] =&\ -[B, A] \\[1em] [A+B, C] =&\ [A, C] + [B, C] \\[1em] [AB, C] =&\ A[B, C]+[A, C]B \\[1em] [A,BC] =&\ B[A,C]+ [A,B]C \end{align} $$

설명

양자역학을 기술하는 주된 방법이 행렬이다. 그런데 행렬은 곱셈에 대해서 교환법칙이 성립하지 않는다. 그래서 $A,\ B$라는 연산자(행렬)가 있을 때 아래처럼 전개하면 일반적으로 맞지 않다.

$$ (A+B)^{2} = A^{2} + 2AB + B^{2} $$

올바르게 전개하면 다음과 같다.

$$ (A+B)^{2} = A^{2} + AB + BA + B^{2} $$

'연산자=행렬'이라고 기억하는 것이 실수를 줄이는 길이다. 위의 성질들은 교환자를 계산할 때 유용하게 사용된다.

증명

(1)

$$ [A, A]=AA-AA=0 $$

(2)

$$ [A,B] = AB-BA = -(BA-AB) = -[B,A] $$

(3)

$$ \begin{align*} [A+B,C] =&\ (A+B)C-C(A+B) \\ =&\ AC+BC-CA-CB \\ =&\ (AC-CA) + (BC-CB) \\ =&\ [A,C]+[B,C] \end{align*} $$

(4)

$$ \begin{align*} [AB,C] =&\ (AB)C-C(AB) \\ =&\ ABC-CAB \\ =&\ (ABC {\color{blue}-CAB})+(ACB {\color{red}-ACB}) \\ =&\ (ABC {\color{red}-ACB}) + (ACB {\color{blue}-CAB}) \\ =&\ A(BC-CB) +(AC-CA)B \\ =&\ A[B,C] + [A,C]B \end{align*} $$

(5)

$$ \begin{align*} [A,BC] =&\ A(BC)-(BC)A \\ =&\ ABC-BCA \\ =&\ ({\color{blue}ABC} -BCA)+({\color{red}BAC} -BAC) \\ =&\ ( {\color{red}BAC}-BCA )+({\color{blue}ABC}-BAC) \\ =&\ B[A,C] + [A,B]C \end{align*} $$

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