각운동량 연산자의 제곱과 각운동량 연산자의 각 성분의 교환 관계가 0임을 증명

각운동량 연산자의 제곱과 각운동량 연산자의 각 성분의 교환 관계가 0임을 증명

properties of commutative relation between elements of angular momentum


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$L^2$과 $L_{z}$는 서로 교환 가능하다 $$ [L^2, L_{z}]=0 $$

※ $[A,B]=0$이면 $A$와 $B$는 교환 관계(commutation relation) 가 $0$이다,

증명

$$ \begin{align*} [L^2, L_{z}] =&\ [{L_{x}}^2 + {L_{y}}^2 + {L_{z}}^2, L_{z}] \\ =&\ [{L_{x}}^2,L_{z}] + [{L_{y}}^2, L_{z}] +[{L_{z}^2}, L_{z}] \\ =&\ L_{x}[L_{x}, L_{z}] + [L_{x}, L_{z}]L_{x} + L_{y}[L_{y}, L_{z}] + [L_{y}, L_{z}]L_{y} \\ =&\ (-i\hbar L_{x}L_{y}) + (-i\hbar L_{y}L_{x}) + i\hbar L_{y}L_{z} + i\hbar L_{x}L_{y} \\ =&\ 0 \
\end{align*} $$ 비슷한 과정으로 $[L^2, L_{x}]=0,\ [L^2, L_{y}]=0$임을 증명할 수 있다.(증명 과정은 생략할테니 궁금한 사람들은 직접 해보라.)따라서 $[L^2, \vec L]=0$임을 알 수 있다.

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