B-스플라인의 성질

B-스플라인의 성질

성질1

오더가 $m\in \mathbb{N}$인 B-스플라인 $N_{m}$은 다음과 같은 성질을 만족한다.

(a) $\mathrm{supp}N_{m}=[0,m] \quad \text{and} \quad N_{m}(x)>0 \text{ for } x\in(0,m)$

(b) $\displaystyle \int _{-\infty} ^{\infty} N_{m}(x)dx=1$

(c) $m\ge 2$에 대해서 아래의 식이 성립한다.

$$ \begin{equation} \sum \limits_{k \in \mathbb{Z}} N_{m}(x-k)=1,\quad \forall x\in \mathbb{R} \end{equation} $$

(c') $m=1$일 때, 위 식은 $x\in \mathbb{R}\setminus \mathbb{Z}$에 대해서 성립한다.

설명

(c) 는 다시 말해 $\left\{ N_{m}(x-k) \right\}_{k}$가 단위 분할이라는 뜻이다.

증명

(b)

(c)

(c')

$N_{1}$의 정의에 의해

$$ \sum \limits _{k\in \mathbb{Z}} N_{1}(x-k) =\begin{cases} 1 & x\in \mathbb{R}\setminus\mathbb{Z} \\ 2 & x \in \mathbb{Z} \end{cases} $$


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p205-206 ↩︎

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