고유조각사상

고유조각사상

Proper Coordinate Patch

정의1

  • $M \subset \mathbb{R}^{3}$와 $\epsilon >0$이 주어졌다고 하자. $d$를 유클리드 거리라고 하자. 다음과 같이 정의되는 집합을 점 $P \in M$의 $\epsilon -$네이버후드$\epsilon -$neighborhood라고한다.

    $$ N_{p} := \left\{ Q \in M : d(P,Q) < \epsilon \right\} $$

  • $M \subset \mathbb{R}^{3}$라고 하자. 함수 $g : M \to \R^{2}$가 주어졌다고 하자. $g(P)$를 포함하는 모든 열린 집합 $U \subset \R^{2}$에 대해서, $g(N) \subset U$를 만족하는 $P$의 $\epsilon -$네이버후드 $N_{p}$가 존재하면, $g$가 $P \in M$에서 연속continuous이라고 한다.

  • 단순 곡면 $\mathbf{x} : U \to \R^{3}$의 역함수 $\mathbf{x}^{-1} : \mathbf{x}(U) \to U$가 정의역 $\mathbf{x}(U)$의 모든 점에서 연속이면, $\mathbf{x}$를 고유 패치proper patch, 고유조각사상라고 한다.

설명

$\epsilon -$네이버후드는 $M$과 $\mathbb{R}^{3}$상의 반지름이 $\epsilon$인 오픈 볼의 교집합과 같다.

연속은 위상수학에서의 연속과 같이 정의된다. 단지 도메인을 곡면 위로 제한했을 뿐이다.

$\mathbf{x}$가 고유조각사상이라는 것은 $U$와 $\mathbf{x}(U)$가 위상동형이라는 말과 같다. 위상수학에서 도넛과 컵을 같은 도형이라고하는 것 처럼, $U$를 (자르거나 구멍을 뚫지 않고) 늘리거나 구부려서 $\mathbf{x}(U)$와 같이 만들 수 있다고 보는 것이다.


  1. Richard S. Millman and George D. Parker, Elements of Differential Geometry (1977), p88-89 ↩︎

댓글