푸리에 급수의 상수항은 함수의 한 주기 평균과 같다

푸리에 급수의 상수항은 함수의 한 주기 평균과 같다

proof that the constant term in fourier series of f is the mean value of f

정리

주기가 $2L$인 함수 $f$의 푸리에 급수의 상수항은 함수 $f$의 한 주기 평균과 같다.

증명

정의에 의해

$f(t)$의 한 주기 적분은

$$ \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t)dt $$

이는 푸리에 계수의 정의에 따라 $\dfrac{1}{2}a_0$과 같다. 따라서 $f(t)$의 한 주기 적분은 $f(t)$의 푸리에 급수의 상수항과 같다.

직접계산

직접 계산을 통해 위 사실을 보일수도 있다.$f(t)$의 푸리에 급수는

$$ f(t)=\dfrac{1}{2}a_0 +\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left( a_n \cos \frac{n\pi}{L}t + b_n \sin \frac{n\pi}{L}t \right) $$

$f(t)$의 한 주기 평균을 구하면

$$ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t) dt= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{a_0}{2} dt+\sum \limits_{n=1}^{\infty} \left( a_n \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \cos \frac{n\pi}{L}t dt + b_n\frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \sin \frac{n\pi}{L}tdt \right) $$

삼각함수의 한 주기 평균은 $0$이므로

$$ \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} f(t) dt= \frac{1}{2L}\int_{-L}^{L} \dfrac{a_0}{2} dt=\dfrac{a_0}{2} $$

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