테스트 함수 공간은 슈바르츠 공간의 진 부분집합임을 증명

테스트 함수 공간은 슈바르츠 공간의 진 부분집합임을 증명

정리1

$\mathcal{D}$가 테스트 함수 공간, $\mathcal{S}$가 슈바르츠 공간이라고 하자. 그러면 다음의 식이 성립한다.

$$ \mathcal{D} \subsetneq \mathcal{S} $$

증명

우선 모든 테스트 함수가 슈바르츠 공간에 속함을 보인 뒤, 슈바르츠 함수 중에서 테스트 함수가 아닌 예를 보임으로써 증명한다.


증명

슈바르츠 함수

다음의 두 조건을 만족하는 $\phi$를 슈바르츠 함수라고 한다.

  • (a) $\phi \in C^{\infty}$
  • (b) 모든 멀티 인덱스 $\alpha$, $\beta$에 대해서 $\left| x^{\beta}D^{\alpha}\phi(x) \right| <\infty$

임의의 테스트 함수 $\phi$가 주어졌다고 하자. $\phi \in C_{c}^{\infty}$이므로 조건 (a) 를 만족한다. $\phi$의 서포트유계이므로 아래의 식을 만족하는 $r>0$이 존재한다.

$$ \mathrm{supp}\phi \subset \overline{B}(r) $$

이때 $\overline{B}(r)$은 원점이 중심이고 반경이 $r$인 닫힌 볼이다. 또한 테스트 함수의 성질에 의해 임의의 멀티 인덱스 $\alpha$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \mathrm{supp}D^{\alpha}\phi\subset \mathrm{supp}\phi \subset \overline{B}(r) $$

여기서 두 가지 경우로 나누어 생각해보자.


  1. Daniel Eceizabarrena perez, Distribution Theory and Fundamental Solutions of Differential Operators (2015), p16-17 ↩︎

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