소볼레프 공간은 분리가능하고 균등 볼록이고 반사적임을 증명

소볼레프 공간은 분리가능하고 균등 볼록이고 반사적임을 증명

정리1

$1\le p <\infty$일 때, 소볼레프 공간 $W^{m, p}$는 분리가능하다. 또한 $1< p < \infty$일 때, 소볼레프 공간은 반사적이고 균등 볼록하다.

설명

내적이 정의되는 벡터공간을 내적공간이라하고, 완비인 내적공간을 특별히 힐베르트 공간이라 부른다. $W^{m, p}$는 완비이므로 내적을 아래와 같이 정의하면 $W^{m,\ 2}$는 분리가능한 힐베르트 공간이 된다.

$$ \langle u,\ v \rangle_m = \sum \limits_{0\le |\alpha | \le m } \left\langle D^\alpha u,\ D^\alpha v \right\rangle $$

이때 $\langle \cdot, \cdot \rangle$는 $L^2$ 공간에서의 내적이다.

증명

$W^{m, p}$는 놈이 정의되므로 거리공간이 된다. 그리고 $L^{p}$공간은 완비거리공간이다.

보조정리

$(X, d)$를 거리공간이라고 하자. $(Y,d')$를 완비거리공간이라고 하자. 그러면 등거리 사상인 임베딩 $f : X \to Y$가 존재한다.

따라서 위 정리에 의해 아래와 같은 등거리 사상인 임베딩이 존재한다.

$$ P : W^{m, p} \rightarrow L^{p} $$

이때 $P(W^{m, p})=W$라고 하자. $P$가 임베딩이므로 $W \subset L^{p}$이다. 또한 $W^{m, p}$가 완비이고 $P$가 등거리 사상이므로 $W$도 완비이다.

보조정리

$M$이 완비거리공간이라고 하자. $S$가 $M$의 부분공간이라고 하자. 그러면 다음의 두 명제는

  • $S$는 $M$에서 닫혀있다.
  • $S$는 완비이다.

위 정리에 의해서 $W$는 $L^{p}$의 닫힌 부분공간이다.

보조정리

$X$를 바나흐 공간이라고 하자. $M$을 $X$의 닫힌 부분공간이라고 하자. 그러면

  • $M$도 바나흐 공간이다.
  • $X$가 분리가능하면 $M$도 분리가능하다.
  • $X$가 반사적이면 $M$도 반사적이다.
  • $X$가 균등 볼록이면 $M$도 균등 볼록이다.

$L^{p}$공간이 $1 \le p < \infty$일 때 분리가능하고, $1 < p < \infty$일 때 균등 볼록하고 반사적이므로위 보조정리에 의해서 $W$도 $1 \le p < \infty$일 때 분리가능하고, $1 < p < \infty$일 때 균등 볼록하고 반사적이다.

한편 $P$가 임베딩이므로 $P=(W^{m, p})=W$와 $W^{m, p}$는 위상 동형이다. 따라서 $W$가 분리가능하면 $W^{m, p}$도 분리가능하다. 또한 $P$가 등거리 사상이므로 균등 볼록의 정의에 의해 $W$가 균등 볼록하면 $W^{m, p}$도 균등 볼록하다.

보조정리

균등 볼록한 바나흐 공간은 반사적이다.

$W^{m, p}$는 바나흐 공간이므로 $W^{m, p}$는 반사적이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p61-62 ↩︎

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