소볼레프 공간은 바나흐 공간임을 증명

소볼레프 공간은 바나흐 공간임을 증명

정리1

소볼레프 공간 $W^{m, p}$는 바나흐 공간이다.

설명

이 정의되고 완비인 공간을 바나흐 공간이라 한다. 소볼레프 공간을 정의할 때 놈도 같이 정의했으므로 완비인 것만 확인하면 된다. 따라서 $W^{m, p}$안의 코시 수열이 $W^{m, p}$안에서 수렴함을 보이면 된다. 증명은 어렵지 않은 편이다.

증명

$\Omega \subset \mathbb{R}^{n}$를 열린 집합이라고 하자. $\left\{ u_n \right\}$을 $W^{m, p}$ 안에서의 코시 수열이라고 하자.

소볼레프 공간의 정의

$$ W^{m, p}(\Omega):=\left\{ u \in L^{p}(\Omega) : D^\alpha u \in L^{p}(\Omega),\ 0\le |\alpha | \le m \right\} $$

이때 $D^\alpha u$는 $u$의 약 도함수.

그러면 $W^{m, p}$의 정의에 의해 $\left\{ D^\alpha u_n \right\}$는 $0\le |\alpha| \le m$에 대해서 $L^{p}$ 공간의 코시 수열이다. $L^{p}$는 완비 공간이므로 두 코시 수열은 수렴한다. 그 극한을 각각 $u$, $u_\alpha$라고 하자.

$$ u_n \rightarrow u \quad \mathrm{in}\ L^{p} $$

$$ D^\alpha u_n \rightarrow u_\alpha\quad \mathrm{for}\ 0\le |\alpha | \le m \quad \mathrm{in} \ L^{p} $$

그리고 $u_n \in L^{p}(\Omega) \subset L_{\text{loc}}^{1}(\Omega)$는 국소 적분가능하므로 대응되는 초함수 $T_{u_n} \in D^{\prime}(\Omega)$가 있다.

$$ T_{u_n}(\phi)=\int_{\Omega} u_n(x)\phi(x)dx,\quad \phi \in D(\Omega) $$

그러면

$$ \left| T_{u_n}(\phi)-T_u(\phi) \right| \le \int |u_n(x)-u(x)||\phi(x)|dx \le \|u_n-u\|_p\ \|\phi\|_{p^{\prime}} $$

첫번째 부등식은 절댓값의 성질에 의해서, 두번째 부등식은 횔더 부등식에 의해 성립한다. $p^{\prime}$는 $p$의 켤레 지수이다. 그리고 $u_n \rightarrow u$이므로 위의 식은 $0$으로 수렴한다.

$$ \begin{equation} T_{u_n}(\phi) \rightarrow T_u(\phi), \quad \forall \phi\in D(\Omega)\ \mathrm{as}\ n\rightarrow \infty \end{equation} $$

같은 방법으로 아래의 식도 만족함을 확인할 수 있다.

$$ \begin{equation} T_{D^\alpha u_n}(\phi) \rightarrow T_{u_\alpha}(\phi) \end{equation} $$

이제 $T_{u_\alpha}$를 계산해보자.

$$ \begin{align*} T_{u_\alpha}(\phi) =&\ \lim \limits_{n\rightarrow \infty}T_{D^\alpha u_n}(\phi) \\ =&\ \lim \limits_{n\rightarrow \infty} (-1)^{|\alpha|}T_{u_n}(D^\alpha \phi) \\ =&\ (-1)^{|\alpha|}T_u(D^\alpha \phi) \end{align*} $$

첫번째 식은 $(2)$에 의해 성립한다. 초함수의 미분을 정의할 때 했던 것 처럼 부분 적분을 쓰면 $T_{D^\alpha u_n}(\phi)=T_{u_n}(D^\alpha \phi)$임을 어렵지 않게 보일 수 있다. 이로 인해 두번째 식이 성립한다. 세번째 식은 $(1)$에 의해 성립한다. 약한 도함수의 정의에 의해 $u_\alpha$와 $D^\alpha u$는 $0 \le |\alpha | \le m$에 대해서 distributional sense로 같다. 따라서 $D^\alpha u_n \rightarrow u_\alpha=D^\alpha u$이다. 이제 $\| u_n -u\|_{m, p}$가 $0$으로 수렴하는지 확인하면 증명이 끝난다. 우선 $1 \le p < \infty$일 때

$$ \begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \|u_n-u\|_{m, p}^p =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|D^\alpha u_n-D^\alpha u \|^p_p \\ =&\ \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|u_\alpha-D^\alpha u \|^p_p \\ =&\ \sum\limits_{0\le |\alpha| \le m } \|D^\alpha u-D^\alpha u \|^p_p \\ =&\ 0 \end{align*} $$

$p=\infty$때도 마찬가지로

$$ \begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} \|u_n-u\|_{m, p} =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|D^\alpha u_n - D^\alpha u\|_\infty \\ =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|u_\alpha - D^\alpha u\|_\infty \\ =&\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty}\max\limits_{0\le |\alpha| \le m} \|D^\alpha u - D^\alpha u\|_\infty \\ =&\ 0 \end{align*} $$


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p61 ↩︎

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