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p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명

Proof That p Norm is Maximum Norm When p is Infinity

정리

수열 공간 $l^{p}$ 와 $1 < p_{0} < \infty$ 에 대해 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ 라 두자. $$ \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | $$

설명

맥시멈 놈은 해석학이나 선형대수학 등에서 꽤 일찍 접함에도 불구하고 왜 하필 $\infty$ 와 관계가 있는지 제대로 설명을 안 해주는 경우가 많다. 특히 교수님들은 너무 당연하게 생각하기 때문에 그냥 넘어가는데, 와닿지 않는다면 반드시 짚고 넘어가도록 하자.

시각화 ¹

백마디 말이 필요 없다. 위의 그림은 유클리드 공간 $\mathbb{R}^{2}$ 에 주어진 $p$-놈의 유닛 볼을 그려보면 위와 같은 모양으로 수렴해간다.

직관적 수식 전개

개념을 잡는데에는 수식적으로 접근하는 게 더 도움이 된다. $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^{n}$ 이라고 할 때, $\left\| \mathbf{x} \right\|_{p}$ 은 $$ \left\| \mathbf{x} \right\|_{p} = \sqrt[p]{\left| x_{1} \right|^{p} + \cdots + \left| x_{n} \right|^{p}} $$ 과 같이 적을 수 있다. 이 때, $\left| x_{1} \right|, \cdots , \left| x_{n} \right|$ 중 가장 큰 값을 $\bar{x} = \max_{k = 1 , \cdots , n} \left| x_{k} \right|$ 라 하면 다음과 같은 수식 전개가 될 것처럼도 보인다. $$ \begin{align*} \lim_{p \to \infty} \left\| x \right\|_{p} =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\left| x_{1} \right|^{p} + \cdots + \left| x_{n} \right|^{p}} \\ =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ \bar{x}^{p} \left( \left| {\frac{ x_{1} }{ \bar{x} }} \right|^{p} + \cdots + \left| {\frac{ x_{n} }{ \bar{x} }} \right|^{p} \right) } \\ =& \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{\bar{x}^{p}} \cdot \sqrt[p]{ \left( \left| {\frac{ x_{1} }{ \bar{x} }} \right|^{p} + \cdots + \left| {\frac{ x_{n} }{ \bar{x} }} \right|^{p} \right) } \\ \overset{?}{=} & \bar{x} \lim_{p \to \infty} \sqrt[p]{ 0 + \cdots + 1 + \cdots + 0 } \\ =& \bar{x} \lim_{p \to \infty} m^{{\frac{ 1 }{ p }}} \\ =& \max_{k = 1 , \cdots , n} \left| x_{k} \right| \cdot 1 \end{align*} $$ 엄밀한 증명이 이런 식으로 이루어지지는 않지만, 이러한 직관을 가지고 있냐 없냐는 맥시멈 놈을 체득하는 부분에 있어서 큰 차이가 난다.

증명

$\displaystyle M := \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } |$ 이라 하자. 만약 $M=0$ 이면 $\displaystyle 0 = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | = 0$ 이므로 $M > 0$ 을 가정하자. 새로운 수열을 $\displaystyle y_{n} : = {{x_{n}} \over {M}}$ 이라고 정의하면 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ 이고 $\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ 이므로 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = M $ 임을 보이려면 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } \left| {{x_{n} } \over {M}} \right|^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1$ 을 보이는 것으로 충분하다.

• Part 1. $\displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1$

  $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ 이므로 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $| y_{n_{0} } | > 1 - \varepsilon$ 을 만족하는 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge | y_{ n_{0} } | > 1 - \varepsilon$ 이 성립하므로

  $$ \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1 $$

• Part 2. $\displaystyle \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1$

  $\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}_{p_{0}}$ 이므로 $\displaystyle \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1$ 를 만족하는 $N \in \mathbb{n}$ 이 존재한다. $p > p_{0}$ 이라고 하면

  $$ \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p} < \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1 $$

  $\displaystyle \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( | y_{1} |^{p} + \cdots + | y_{N} |^{p} + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} }$ 이 성립하므로

  $$ \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \limsup_{p \to \infty} \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1 $$

• Part 3.
  위의 Part 1. 과 Part 2. 에 따라 $$ \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1 \le \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } $$ 이고, 결과적으로 다음을 얻는다. $$ \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } =1 $$

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