p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명

p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명

정리

$1 < p_{0} < \infty$ 에 대해 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ 라고 하면

$$ \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | $$

설명

맥시멈 놈은 해석학이나 선형대수학 등에서 꽤 일찍 접함에도 불구하고 왜 하필 $\infty$ 와 관계가 있는지 그 설명을 찾기가 어렵다. 다행스러운 점은 그냥 증명이 가능하는 것이다.

증명

$\displaystyle M := \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } |$ 이라 하자. 만약 $M=0$ 이면 $\displaystyle 0 = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | = 0$ 이므로 $M > 0$ 을 가정하자. 새로운 수열을 $\displaystyle y_{n} : = {{x_{n}} \over {M}}$ 이라고 정의하면 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ 이고 $\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ 이므로 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = M $ 임을 보이려면 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } \left| {{x_{n} } \over {M}} \right|^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1$ 을 보이는 것으로 충분하다.

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