p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명 📂바나흐공간

p=∞ 일 때 p-놈이 맥시멈 놈이 됨을 증명

Proof That p Norm is Maximum Norm When p is Infinity

정리

$1 < p_{0} < \infty$ 에 대해 $\left\{ x_{n} \right\}_{n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ 라고 하면

$$ \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | $$

설명

맥시멈 놈은 해석학이나 선형대수학 등에서 꽤 일찍 접함에도 불구하고 왜 하필 $\infty$ 와 관계가 있는지 그 설명을 찾기가 어렵다. 다행스러운 점은 그냥 증명이 가능하는 것이다.

증명

$\displaystyle M := \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } |$ 이라 하자. 만약 $M=0$ 이면 $\displaystyle 0 = \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = \sup_{n \in \mathbb{N}} | x_{ n } | = 0$ 이므로 $M > 0$ 을 가정하자. 새로운 수열을 $\displaystyle y_{n} : = {{x_{n}} \over {M}}$ 이라고 정의하면 $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ 이고 $\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}^{p_{0}}$ 이므로 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | x_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = M $ 임을 보이려면 $\displaystyle \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } \left| {{x_{n} } \over {M}} \right|^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1$ 을 보이는 것으로 충분하다.

  • Part 1. $\displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1$

    $\displaystyle \sup_{n \in \mathbb{N}} | y_{ n } | = 1$ 이므로 임의의 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $| y_{n_{0} } | > 1 - \varepsilon$ 을 만족하는 $n_{0} \in \mathbb{N}$ 이 존재한다. 모든 $\varepsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge | y_{ n_{0} } | > 1 - \varepsilon$ 이 성립하므로

    $$ \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \ge 1 $$

  • Part 2. $\displaystyle \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1$

    $\left\{ y_{n} \right\}_{ n \in \mathbb{N} } \in \mathcal{l}_{p_{0}}$ 이므로 $\displaystyle \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1$ 를 만족하는 $N \in \mathbb{n}$ 이 존재한다. $p > p_{0}$ 이라고 하면

    $$ \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p} < \sum_{ n > N } | y_{n} |^{p_{0}} < 1 $$

    $\displaystyle \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( | y_{1} |^{p} + \cdots + | y_{N} |^{p} + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} }$ 이 성립하므로

    $$ \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le \limsup_{p \to \infty} \left( N + 1 \right)^{ {{1} \over {p}} } = 1 $$

  • Part 3.

    위의 Part 1. 과 Part 2. 에 따라

    $$ \limsup_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } \le 1 \le \liminf_{p \to \infty } \left( \sum_{n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } $$

    결과적으로

    $$ \lim_{p \to \infty} \left( \sum_{ n \in \mathbb{N} } | y_{n} |^{p} \right)^{ {{1} \over {p}} } =1 $$

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