적분가능성은 두 함수의 곱셈에서 보존된다

적분가능성은 두 함수의 곱셈에서 보존된다

정리1

두 함수 $f$, $g$가 구간 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분가능하면 $fg$도 적분가능하다.

증명

$f, g$가 적분가능하다고 하자. 적분은 선형성이 있으므로 $-g,\ f+g,\ f-g$도 적분가능하다.

함수 $\phi$를 $\phi(x)=x^2$라고 하자. 그러면 $\phi$는 전영역에서 연속이다. 적분가능성은 연속함수와의 합성에서 보존되므로 $\phi(f+g),\ \phi(f-g)$도 적분가능하다.

다시 적분은 선형이므로 $\phi(f+g) - \phi(f-g)$도 적분가능하다. 이제 함수 $h$를 $h(x)=\dfrac{1}{4}x$라고 하자. 그러면 $h$는 전영역에서 연속이다. 다시 적분가능성은 연속함수와의 합성에서 보존되므로 $h\Big(\phi(f+g) - \phi(f-g) \Big)$도 적분가능하다. 그런데 다음이 성립하므로 $fg$도 적분가능하다.

$$ \begin{align*} h\Big(\phi(f+g) - \phi(f-g) \Big) =&\ \dfrac{1}{4} \Big( \phi(f+g) - \phi(f-g) \Big) \\ =&\ \dfrac{1}{4} \Big( (f+g)^2 - (f-g)^2 \Big) \\ =&\ \dfrac{1}{4} \Big( (f^2 +2fg + g^2) - (f^2 -2fg +g^2 \Big) \\ =&\ \dfrac{1}{4} (4fg) \\ =&\ fg \end{align*} $$


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p129 ↩︎

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