📂전자기학

자기력은 일을 하지 않는다

Proof That Magnetic Forces Do Not Work

정리¹

자기력은 일을 하지 않는다.

설명

자기력이 있는 상황에서 입자나 물체 등이 움직이면 겉으로 보기엔 마치 자기력이 일을 해준 것 처럼 보인다. 허나 사실은 그렇지 않다.

증명

일은 힘과 변위의 곱이다.

$$ W=\int \mathbf{F} \cdot d\mathbf{l} $$

자기력이 해준 일은

$$ W_{\text{mag}}=\int \mathbf{F}_{\text{mag}} \cdot d\mathbf{l} = \int Q(\mathbf{v}\times \mathbf{B})\cdot d\mathbf{l} $$

이때 $d\mathbf{l} = \dfrac{d\mathbf{l}}{dt}dt = \mathbf{v}dt$이므로

$$ W_{\text{mag}} = \int Q( \mathbf{v} \times \mathbf{B})\cdot \mathbf{v}dt $$

여기서 $(\mathbf{v}\times \mathbf{B})$는 $\mathbf{v}$와 수직한 벡터이다. $\mathbf{v}$와 수직한 벡터를 $\mathbf{v}$와 내적했으므로 그 결과는 당연히 $0$이다. 따라서

$$ W_{\text{mag}} =\int 0 dt=0 $$

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