엘피 공간이 균등하게 볼록하고 반사적임을 증명

엘피 공간이 균등하게 볼록하고 반사적임을 증명

proof that lp space is uniformly convex and reflexive

정리1

$1 \lt p \lt \infty$라고 하자. 그러면 $L^{p}$ 공간은 균등하게 볼록하고 반사적이다.

설명

균등하게 볼록함의 정의와 클락슨 부등식을 이용해서 증명할 수 있다. 클락슨 부등식 덕분에 쉽고 짧게 증명이 끝난다. 필살기 같은 느낌임.

균등하게 볼록

놈 공간 $X$상의 $\left\| \cdot \right\|$이 아래의 조건을 만족하면 놈과 놈 공간 $X$를 균등하게 볼록하다고 말한다.$0<\epsilon \le 2$인 모든 $\epsilon$에 대해서 양수 $\delta(\epsilon)>0$이 존재해서 $x,y \in X$이고 $| x |=|y|=1$, $| x-y| \ge \epsilon$이면 $\left\|\dfrac{ x+y}{2} \right\| \le 1-\delta(\epsilon)$을 만족한다.

보조 정리: 클락슨 부등식

$u,v\in {L}^{\ p}(\Omega)$라고 하자. 또한 $\frac{1}{p}+\frac{1}{p^{\prime}}=1$을 만족한다고 하자. 만약 $2\le p <\infty$라면

$$ \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p} \le \frac{1}{2}| u|_{p}^{p} + \frac{1}{2}|v|_{p}^{p} \quad \cdots (1) $$

만약 $1<p \le 2$라면

$$ \left\| \frac{u+v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}}+ \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le \left( \frac{1}{2}| u|_{p}^{p} + \frac{1}{2}|v|_{p}^{p}\right)^> {p^{\prime}-1} \quad \cdots (2) $$

증명

$0 < \epsilon <2$가 주어졌다고 하자. 그리고 $u,\ v \in {L}^{p}$가 $\| u \|_{p}=\left\| v \right\|_{q}=1$이고 $|u-v|_{p} \ge \epsilon $을 만족한다고 하자. 그러면 균등 볼록의 정의에 의해

$$ \left\| \frac{x+y}{2} \right\|_{p} \le 1-\delta $$

를 만족하는 $\delta=\delta(\epsilon)>0$이 존재함을 보이면 된다.

  • Case 1. $1<p\ \le 2$

    가정에 의해 $\displaystyle \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p} \ge \frac{\epsilon}{2}$이다. 그러면 클락슨 부등식 $(2)$에 의해

    $$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p^{\prime}} \le & -\left\| \frac{u-v}{2}\right\|_{p}^{p^{\prime}} + \left( \frac{1}{2} \| u \|_{p}^{p} +\frac{1}{2}\left\| v \right\|_{q}^{p} \right)^{p^{\prime}-1} \\ \le& -\left( \frac{\epsilon}{2}\right)^{p^{\prime}} +\left( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \right)^{p^{\prime}-1} \\ =&\ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}} \end{align*} $$

    이때 $0 < \frac{\epsilon}{2} < 1$이므로 $1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}}<1$이고

    $$ \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p} \le \left[ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p^{\prime}}\right]^{\frac{1}{p^{\prime}}} = 1-\delta(\epsilon) $$

    을 만족하는 $\delta(\epsilon)>0$이 존재한다.

  • Case 2. $2 \le p < \infty$

    마찬가지로 가정에 의해 $\displaystyle \left\| \frac{u-v}{2} \right\|_{p} \ge \frac{\epsilon}{2}$이다. 그러면 클락슨 부등식 $(1)$에 의해

    $$ \begin{align*} \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p}^{p} \le& -\left\| \frac{u-v}{2}\right\|_{p}^{p} + \frac{1}{2} \| u \|_{p}^{p} +\frac{1}{2}\left\| v \right\|_{q}^{p} \\ \le & -\left( \frac{\epsilon}{2}\right)^{p} +\frac{1}{2} + \frac{1}{2} \\ =&\ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p} \end{align*} $$

    마찬가지로 $0 < \frac{\epsilon}{2} < 1$이므로 $1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p}<1$이고

    $$ \left\| \frac{u+v}{2} \right\|_{p} \le \left[ 1-\left( \frac{\epsilon}{2} \right)^{p}\right]^{\frac{1}{p}} = 1-\delta(\epsilon) $$

    을 만족하는 $\delta(\epsilon)>0$이 존재한다.두 경우에 대해서 $0 < \delta =\delta(\epsilon)$이 존재하므로 $L^{p}$ 공간은 균등하게 볼록하다.

보조정리

균등하게 볼록한 바나흐 공간은 반사적이다.

${L}^{p}$공간은 바나흐 공간이고 균등하게 볼록하므로 보조정리에 의해 반사적이다.


  1. Robert A. Adams and John J. F. Foutnier, Sobolev Space (2nd Edition, 2003), p45 ↩︎

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