호프-락스 공식이 해밀턴-야코비 방정식을 만족함을 증명

호프-락스 공식이 해밀턴-야코비 방정식을 만족함을 증명

정리 1

호프-락스 공식

$$ u(x,t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ tL\left( \dfrac{x-y}{t} \right) +g(y) \right\} $$

$x \in \mathbb{R}^n$, $t>0$이라고 하자. 그리고 호프-락스 공식에 의해 정의된 $u$가 점 $(x,t)$에서 미분가능하다고 하자. 그러면 $u$는 해밀턴-야코비 방정식 을 만족한다.

$$ u_t(x, t) + H\big( Du(x, t) \big) =0 $$

증명

보조정리: 호프-락스 공식의 일반화

$t>0$라고 하자. 그러면 각각의 $x \in \mathbb{R}^n$, $0< s< t$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\} $$

$s=0$일 때 호프-락스 공식과 같다.

Part 1.Part 2. 에 의해 다음이 성립한다.

$$ u(x, t) = \min \limits_{y \in \mathbb{R}^n} \left\{ (t-s) L \left( \dfrac{x-y}{t-s} \right) +u(y, s) \right\} $$


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p127-128 ↩︎

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