푸리에 계수의 극한은 0이다

푸리에 계수의 극한은 0이다

proof that fourier coefficients tend to zero as n tend to infinite

정리

푸리에 계수 $a_{n}, b_{n}$와 복소 푸리에 계수 $c_{\pm n}$은 $n \rightarrow \infty$인 극한

$$ \begin{align*} \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n} &= 0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n} &= 0 \\ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{\pm n} &= 0 \end{align*} $$

증명

베셀 부등식에 의해 푸리에 계수의 합이 수렴함을 알고 있다.

$$ \dfrac{1}{4}|a_0|^2 +\dfrac{1}{2}\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(|a_{n}|^2 + |b_{n}|^2 \right) =\sum \limits_{-\infty}^{\infty} | c_{n} |^2 \le \dfrac{1}{2L}\int_{-L}^{L} | f(t)|^2 dt $$

따라서 $|a_{n}|^2,\ |b_{n}|^2,\ |c_{\pm n}|^2$은 수렴하는 급수의 $n$번째 항이다.급수가 수렴하면 수열의 극한은 0 이므로

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} |a_{n}|^2=0 $$

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} |b_{n}|^2=0 $$

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} |c_{\pm n}|^2=0 $$

따라서

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} a_{n}=0 $$

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} b_{n}=0 $$

$$ \lim \limits_{n \rightarrow \infty} c_{\pm n}=0 $$

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