연속함수는 리만(-스틸체스) 적분가능하다

연속함수는 리만(-스틸체스) 적분가능하다

proof that continuous function is riemann stieltjes integrable

해당 글은 리만-스틸체스 적분을 기준으로 작성되었다. $\alpha=\alpha(x)=x$로 두면 리만 적분과 같다.

정리

함수 $f$가 $[a,b]$에서 연속이면 $[a,b]$에서 리만(-스틸체스) 적분가능하다.

증명

$\epsilon >0$이 주어졌다고 하자. 그리고 $\left[ \alpha (b) - \alpha (a) \right] \eta < \epsilon$을 만족하는 $\eta>0$를 선택했다고 하자. $[a,b]$는 닫혀있고 유계이므로 컴팩트이고, 컴팩트 집합 위에서 연속 함수는 균등연속이므로 $f$는 균등연속이다. 따라서 균등연속의 정의에 따라 아래의 식이 성립하는 $\delta >0$가 존재한다.

$$ |x-t|<\delta \implies |f(x)-f(t)|<\eta\quad \forall x, t \in [a,b] $$

균등연속의 정의에 의해 $\eta$자리에 어떤 양수가 들어가도 만족하므로 우리가 위에서 선택한 $\eta$도 당연히 만족한다.

$[a,b]$의 분할 $P$가 $\Delta x_i <\delta(i=1,\cdots,n)$를 만족하도록 주어졌다고 하자. 또한 다음과 같이 두자.

$$ M_{i}=\sup\limits_{[x_{i-1},x_{i}]}f(x) \quad \text{and} \quad m_{i}=\inf\limits_{[x_{i-1},x_{i}]}f(x) $$

그러면 $f$가 균등연속이라는 조건에 의해서 다음이 성립한다.

$$ M_i-m_i \le \eta \quad (i=1,\cdots,n) $$

그러면 다음의 식을 얻는다.

$$ \begin{align*} U(P,f,\alpha) - L(P,f,\alpha) &= \sum \limits_{i=1}^n (M_i-m_i)\Delta \alpha_i \\ & \le \sum \limits _{i=1} ^n \eta \Delta \alpha_i \\ &= \eta \sum \limits_{i=1}^n \Delta \alpha_i \\ &= \eta \left[ \big( \alpha( x_{2}) -\alpha(a) \big) + \cdots + \big( \alpha( b) -\alpha(x_{n-1}) \big)\right] \\ &=\eta \left[ \alpha ( b) - \alpha (a) \right] \\ &< \epsilon \end{align*} $$

증명의 처음 부분에서 $\eta$를 선택할 때 마지막 수식을 만족하도록 하는 $\eta$를 골랐으므로 마지막 줄이 성립하는 것은 당연하다. 위 식은 적분가능할 동치조건이므로 $f$는 적분 가능하다.

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