티호노프 정리 증명

티호노프 정리 증명

Proof of tychonoff Theorem

정리

$\left\{ X_{\alpha} \ | \ \alpha \in \mathscr{A} \right\}$ 가 컴팩트 공간들의 집합이면 $\displaystyle X : = \prod_{\alpha \in \mathscr{A}} X_{ \alpha}$ 는 컴팩트다.

설명

이름까지 붙은 정리치고는 일개 성질 나부랭이처럼 보이지만 사실 그 반대로 보는 게 맞다. 일개 성질 나부랭이처럼 보이지만 의외로 증명하기가 너무 어려워서 정리에 이름까지 붙어버린 것이다. 유용하기론 둘째가라면 서러운 컴팩트위상공간들의 데카르트 곱에 대해서도 유지된다는 것은 더할나위 없이 좋은 일이다.

증명

$U_{\alpha} \subset X_{\alpha}$ 을 $X_{\alpha}$ 의 열린 집합, $X$ 의 곱위상을 생성하는 부분기저를 다음과 같이 정의하자. $$ \mathscr{S} : = \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha} ) \ | \ U_{\alpha} \subset X_{\alpha} , \alpha \in \mathscr{A} \right\} $$ 알렉산더 부분기저 정리를 이용하기 위해 $\mathscr{S}$ 의 모든 열린 커버가 유한 부분커버를 가짐을 보일 것이다.

알렉산더 부분기저 정리: $X$ 가 위상공간이라고 하자. $X$ 는 컴팩트다. $\iff$ $\mathscr{S}$ 의 멤버들로 이루어진 $X$ 의 모든 열린 커버가 유한 부분커버를 갖게끔 하는 $X$ 의 어떤 부분기저 $\mathscr{S}$ 가 존재한다.


Part 1.

유한 부분커버를 갖지 않는 열린 커버 $\mathscr{U} \subset \mathscr{S}$ 가 존재한다고 가정해보자.

$U \subset X$ 를 $X$ 의 집합이라 하고 모든 $\alpha \in \mathscr{A}$ 에 대해 $$ \mathscr{U}_{\alpha} = \left\{ U \ | \ p_{\alpha}^{-1} (U) \in \mathscr{U} \right\} $$ 라 해보면 $$ \mathscr{U} = \bigcup_{\alpha \in \mathscr{A}} \left\{ p_{\alpha}^{-1} (U) \ | \ U \in \mathscr{U}_{\alpha} \right\} $$


Part 2. $\alpha \in \mathscr{A}$ 에 대해 $\mathscr{U}_{\alpha}$ 가 $X_{\alpha}$ 의 열린 커버가 아님을 보인다.

$\mathscr{U}_{\alpha}$ 가 $X_{\alpha}$ 를 커버한다고 가정하자.

$X_{\alpha}$ 는 컴팩트이므로 $\displaystyle X_{\alpha } = \bigcup_{i=1}^{n} U_{\alpha_{i}}$ 를 만족하는 $U_{\alpha_{1}} , \cdots , U_{\alpha_{n}} \in \mathscr{U}_{\alpha}$ 가 존재한다. 그러면 $$ \left\{ p_{\alpha}^{-1} ( U_{\alpha_{i}} ) \ | \ i = 1, \cdots , n \right\} $$ 은 $\mathscr{U}$ 의 유한 부분커버가 되는데, 이는 Part 1에서 $\mathscr{U}$ 의 정의와 모순이다. 따라서 $\mathscr{U}_{\alpha}$ 는 $X_{\alpha}$ 커버가 되지 못한다.


Part 3.

$\mathscr{U}_{\alpha}$ 는 $X_{\alpha}$ 의 커버가 아니므로 모든 $U_{\alpha} \in \mathscr{U}_{\alpha}$ 에 대해 $x_{\alpha} \notin U_{\alpha}$ 를 만족하는 $x_{\alpha} \in X_{\alpha}$ 가 존재한다. 그러면 모든 $U \in \mathscr{U}$ 에 대해 $p_{\alpha}^{-1} (x_{\alpha} ) \notin U$ 이고, $\mathscr{U}$ 는 $X$ 의 커버가 되지 못한다. 이는 유한 부분커버를 갖지 않는 열린 커버 $\mathscr{U} \subset \mathscr{S}$ 가 존재하지 않는다는 뜻이다. 알렉산더 부분기저 정리에 의해 $X$ 는 컴팩트다.

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