제3동형 정리 증명

제3동형 정리 증명

Proof of the third isomorphism thoerem

정리 1

$G,G'$ 가 이라 하자.

동형 정리Isomorphism Thoerem는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다.


설명

동형 정리는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다. 제3동형 정리에서 몫군의 표현을 조금만 고쳐보면 $$ {{G} \over {H}} \simeq {{ {{G} \over {K}} } \over { {{H} \over {K}} }} $$ 이다. 이것은 분자와 분모에 $\displaystyle {{1} \over {K}}$ 를 곱하는 것과 유사하다.

증명

제2동형 정리와 증명 방법이 거의 똑같은데 $\phi$ 의 정의와 $H$ 가 핵임을 보이는 부분이 다르다. $\phi : G \to (G/K) / (H/K)$ 를 $\phi(g) = gK (H / K)$ 와 같이 정의하자.

$\phi$ 가 전형 사상이고 $H$ 가 $\ker \phi$ 임을 보인 후 제1동형 정리를 쓰면 증명은 끝난다.


Part 1. $\phi$ 는 함수다.

$x,y \in G$ 에 대해 $$ \begin{align*} && x= y \\ \implies& x K (H / K) = y K (H / K) \\ \implies& \phi (x) = \phi (y) \end{align*} $$ 이므로 $\phi$ 는 함수다.


Part 2. $\phi$ 는 준동형 사상이다.

$x,y \in G$ 에 대해 $$ \begin{align*} \phi ( xy ) =& (xyK) ( H / K) \\ =& [ ( a K ) ( b K) ] ( H / K) \\ =& [ (aK) (H / K)] [ (bK) (H / K) ] \\ =& \phi ( x ) \phi ( y ) \end{align*} $$ 이므로 $\phi$ 는 준동형 사상이다.


Part 3. $\phi$ 는 전사다.

모든 $gK (H / N) \in (G / K) / (H / K )$ 에 대해 $$ \phi( g ) = g K ( H / K ) $$ 을 만족하는 $g \in G$ 가 존재하므로 $\phi$ 는 전사다.


Part 4. $H = \ker ( \phi )$

$( \subset )$ $h \in H$ 이면 $\phi(h) = h K ( H / K ) = K ( H / K )$ 이므로 $$ h \in \ker ( \phi ) $$

$( \supset )$ $h \in \ker ( \phi)$ 면 $\phi (h) = K ( H / K ) = hK (H / K )$ 에서 $hK = K \in ( H / K )$ 이므로 $$ h \in H $$


Part 5.

제1동형 정리: 준동형 사상 $\phi : G \to G'$ 이 존재하면 $G / \ker ( \phi ) \simeq \phi (G)$

$\phi : G \to (G/K) / (H/K)$ 은 준동형 사상이고 전사이므로 $$ \phi ( G ) = (G/K) / (H/K) $$ 이다. 한편 $H = \ker ( \phi )$ 이므로 제1동형 정리에 의해 다음이 성립한다. $$ G/H \simeq (G/K) / (H/K) $$


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p307~309. ↩︎

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