회전변환 행렬의 거듭제곱 공식 증명

회전변환 행렬의 거듭제곱 공식 증명

정리

모든 자연수 $n$ 에 대해 다음이 성립한다. $$ \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} ^{n} = \begin{bmatrix} { \cos n\theta }&{ -\sin n\theta } \\ { \sin n\theta }&{ \cos n\theta } \end{bmatrix} $$

설명

원점을 중심으로 $\theta$만큼 회전하는 일차변환의 행렬을 $n$제곱하면 $n\theta$만큼 회전하는 일차변환이 된다.

증명

전략: 상식적으로도 당연하고, 수학적 귀납법을 이용해 쉽게 증명할 수 있다.

$$ (ㄱ) : \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ n }= \begin{bmatrix} { \cos n\theta }&{ -\sin n\theta } \\ { \sin n\theta }&{ \cos n\theta } \end{bmatrix} $$

$n=1$ 일 때, $$ \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} $$ 따라서 (ㄱ)이 성립한다. 이제 $n=k$ 일 때 (ㄱ)이 성립한다고 가정하면 $$ \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ k }= \begin{bmatrix} { \cos k\theta }&{ -\sin k\theta } \\ { \sin k\theta }&{ \cos k\theta } \end{bmatrix} $$ 양변에 $\begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta }\end{bmatrix}$ 을 곱하면 $$ \begin{align*} \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix}^{ k+1 } =& \begin{bmatrix} { \cos k\theta }&{ -\sin k\theta } \\ { \sin k\theta }&{ \cos k\theta } \end{bmatrix} \begin{bmatrix} { \cos \theta }&{ -\sin \theta } \\ { \sin \theta }&{ \cos \theta } \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} { \cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta }&{ -(\sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta ) } \\ { \sin k\theta \cos \theta +\cos k\theta \sin \theta }&{ \cos k\theta \cos \theta -\sin k\theta \sin \theta } \end{bmatrix} \\ =& \begin{bmatrix} { \cos (k+1)\theta }&{ -\sin (k+1)\theta } \\ { \sin (k+1)\theta }&{ \cos (k+1)\theta } \end{bmatrix} \end{align*} $$ 따라서 (ㄱ)이 성립한다.

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