제1동형 정리 증명

제1동형 정리 증명

정리 1

$G,G'$ 가 군이라고 하자.

동형 정리Isomorphism Thoerem는 대수학자 에미 뇌터에 의해 증명된 정리로 독립적인 위의 세 가지 정리를 일컫는다.


설명

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제1동형 정리는 위의 도식에서 빨간색에 해당하는 동형 사상 $\color{red} {\mu}$ 가 존재함을 의미한다. 이는 군에서 $\phi$ 에 대해 필요 없는 부분을 버리고 을 일종의 ‘단위’로 삼는 구조체만을 남길 수 있음을 시사한다.

증명

$K : = \ker ( \phi )$ 라고 했을 때 $\mu : G / K \to G’$ 를 $\mu(xK) = \phi ( x)$ 와 같이 정의하자. 이 $\mu$ 가 동형 사상임을 보이면 된다.


Part 1. $\mu$ 는 함수다.

$x,y \in G$ 와 $G'$ 의 항등원 $e'$ 에 대해

$$ \begin{align*} & xK = yK \\ \iff & x^{-1} y \in K \\ \iff & \phi ( x^{-1} y ) = e' \\ \iff & \phi ( x^{-1} ) \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) ^{-1} \phi ( y ) = e' \\ \iff & \phi ( x ) = \phi ( y ) \end{align*} $$ 즉 $xK = yK \implies \phi ( x ) = \phi ( y )$ 이므로 $\mu$ 는 함수다.


Part 2. $\mu$ 는 단사다.

Part 1에서의 과정을 거꾸로 타고 올라가면 $\phi ( x ) = \phi ( y ) \implies xK = yK$ 이므로 $\mu$ 는 단사다.


Part 3. $\mu$ 는 전사다.

$\mu ( G / K ) = \left\{ \mu (xK) \ | \ x \in G \right\} = \left\{ \phi (x) \ | \ x \in G \right\} = \phi (G)$ 이므로 $\mu$ 는 전사다.


Part 4. $\mu$ 는 준동형 사상이다.

$x,y \in G$ 에 대해 $$ \mu(xKyK) = \mu(xyK) = \phi(xy) = \phi(x) \phi(y) = \mu(xK) \mu(yK) $$ 이므로 $\mu$ 는 준동형 사상이다.

일반화

한편 제1동형 정리를 환에 대해 확장한 정리가 알려져있다. 증명법은 거의 똑같고, 군과 달리 덧셈과 곱셈 두가지 연산을 생각한다는 점이 다르다.

준동형사상의 기본정리: $R$, $R'$ 에 대해 준동형사상 $\phi : R \to R'$ 이 존재하면 $R / \ker ( \phi ) \simeq \phi (R)$


  1. Fraleigh. (2003). A first course in abstract algebra(7th Edition): p307~309. ↩︎

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