3의 배수판정법과 9의 배수판정법의 증명

3의 배수판정법과 9의 배수판정법의 증명

Proof of the 3 and 9 divisibility Rule

정리

각 자리 숫자를 모두 더해 $3$ 의 배수면 $3$ 의 배수, $9$ 의 배수면 $9$ 의 배수다.

설명

예로써

  • $8142$ 는 $8142=3 \cdot 2714$ 로 $3$의 배수고, 실제로 $8+1+4+2=15$ 는 $3$ 의 배수다.
  • $1945125$ 는 $1945125=9 \cdot 216125$ 로 $9$의 배수고, 실제로 $1+9+4+5+1+2+5=27$ 은 $9$ 의 배수다.

배수 판정법은 현대에 와선 사실 별 의미가 없어졌지만 여전히 흥미로운 도구다. $2,4,5,8$ 의 배수는 판정하기가 아주 쉽지만 $3, 7, 9, 11$ 등의 수에 대해서는 별도의 증명이 필요하다. 다행스럽게도 7을 제외하고는 대체로 증명도 이해도 쉬운 편이다.

증명

전략: 증명의 핵심은 10의 거듭제곱을 1과 99..99로 쪼개서 각 자리의 숫자만 생각하는 것이다. 본 포스트에선 증명 할 때의 편의성을 위해서 아래와 같은 표기법을 사용하도록 하겠다.

$$ [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]= a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} $$ 예를 들어 $5714$ 는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $$ [5714]=5000+700+10+4=5\cdot 10^{3} +7\cdot 10^{2} +1\cdot 10^{1} +4\cdot 10^{0} $$ 만약 증명이 이해가 안 간다면 실제로 어떤 예시를 보면서 생각해보는 게 좋다.


$$ \begin{align*} & [a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}] \\ =& a_{n} \cdot 10^{n} + a_{n-1} \cdot 10^{n-1} +…+ a_{1} \cdot 10^{1} + a_{0} \cdot 10^{0} \\ =& a_{n} \cdot \left( 10^{n} -1 \right) + a_{n-1} \cdot \left( 10^{n-1} -1 \right) + \cdots + a_{1} \cdot \left( 10^{1} -1 \right) \\ & + a_{0} +\left( a_{n} + a_{n-1} +…+ a_{1} \right) \\ =& \sum_{k=1}^{n} a_{k} \left( 10^{k} - 1 \right) + \sum_{k=0}^{n} a_{k} \end{align*} $$

여기서 $10^{n} -1=[99…99]$ 는 $3$ 과 $9$ 의 배수다(예를 들어, $10^{3} -1=999$). 따라서 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 가 3의 배수면 $[a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]$ 도 3의 배수다. 마찬가지로 $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} a_{k}$ 가 9의 배수면 $[a_{n} a_{n-1} … a_{1} a_{0}]$ 도 9의 배수다.

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