무한급수가 수렴하면 무한수열은 0으로 수렴함을 증명

무한급수가 수렴하면 무한수열은 0으로 수렴함을 증명

정리

$\displaystyle \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}$ 이 수렴하면 $\displaystyle \lim _{ n\to \infty }{ { a }_{ n }}=0$

설명

처음 접하면 직관과 달라 조금 당황스러울 수 있는 정리로, 왜 역이 성리하지 않는지 궁금할 수 있다. 그 대표적인 반례로는 다음과 같은 수열을 생각해볼 수 있다.

$$ \begin{align*} { a }_{ n }&=\frac { 1 }{ n } \\ { b }_{ n }&=\sqrt { n }-\sqrt { n-1 } \end{align*} $$

두 수열 모두 0으로 수렴하지만 그 합은 무한대로 발산한다. 첫번째의 경우 오렘의 증명을 참고하도록 하자. 대우 명제를 생각해보면 ‘무한수열이 0으로 수렴하지 않으면 무한급수가 발산한다’가 되는데, 발산 판정법Divergence Test이라는 이름으로써 무한급수가 발산함을 보이는데 사용된다.

증명

$$ \begin{align*} S:=\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} \end{align*} $$

라 두고 $a_n$ 을 다음과 같이 나타내보자.

$$ \begin{align*} { a }_{ n }=\sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }}-\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ { a }_{ k }} \end{align*} $$

양변에 극한을 취하면

$$ \begin{align*} \lim _{ n\to \infty }{ { a }_{ n }} =& \lim _{ n\to \infty }{ \left( \sum _{ k=1 }^{ n }{ { a }_{ k }}-\sum _{ k=1 }^{ n-1 }{ { a }_{ k }} \right) } \\ =& \sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }}-\sum _{ n=1 }^{ \infty }{ { a }_{ n }} \\ &=S-S \\ &=0 \end{align*} $$

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