삼각함수의 집합이 직교성을 가짐을 증명

삼각함수의 집합이 직교성을 가짐을 증명

proof of that set of trigonometric functions has orthogonality

정리

$2L$-주기함수가 $2L$인 함수들의 집합 $\left\{ 1,\ \cos \dfrac{\pi x}{L},\ \cos \dfrac{2\pi x}{L}, \cdots ,\ \sin\dfrac{\pi x}{L},\ \sin\dfrac{2\pi x}{L},\ \cdots \right\}$은 구간 $[-L,\ L)$에서 직교집합이다. 다시말해 $m,n = 1, 2, 3, \dots$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align} \dfrac{1}{L} \int _{-L}^{L} \cos\dfrac{m\pi x}{L} \cos\dfrac{n\pi x}{L} dx &= \delta_{mn} \label{eq1} \\ \dfrac{1}{L} \int _{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L}\sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= \delta_{mn} \label{eq2} \\ \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \quad &= 0 \label{eq3} \\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{n\pi x}{L} dx &= 0 \label{eq4} \\ \dfrac{1}{L} \int_{-L}^{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= 0 \label{eq5} \end{align} $$

이때 $\delta$는 크로네커 델타이다.

설명

오일러공식에 의해 지수함수들의 집합도 직교성을 가짐을 알 수 있다. 이 사실은 주기함수를 주기함수들의 급수로 표현하는 푸리에급수가 가능하게 만들기 때문에 푸리에해석에서 중요한 의미가 있다.

증명

$\eqref{eq1}$

$$ \int_{-L}^{L} \cos \frac{m\pi x}{L} \cos \ \frac{n\pi x}{L} dx \tag{1} $$

  • case 1.1 $m \ne n$

$$\begin{align*} & \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \cos \dfrac{n\pi x}{L} dx \quad (m,n=1, 2,\dots\quad m\ne n) \\ =&\ \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos \frac{(m+n)\pi x}{L}+\cos \frac{(m-n)\pi x}{L} \right] dx \\ =&\ \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \dfrac{(m+n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} + \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi }\sin \dfrac{(m-n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ =&\ \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &+\frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m-n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin\big( (m-n)\pi \big) \right] \\ =&\0 \end{align*} $$

첫번째 등호는 삼각함수의 곱셈 공식에 의해 성립한다. 마지막 등호는 $m+n,\ m-n$이 $0$이 아닌 정수이므로 모든항이 $0$이기 때문에 성립한다.

  • case 1.2 $m = n$

    $$\begin{align*} \int _{-L}^{L} \left( \cos \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2 dx &=\dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1+ \cos \dfrac{2m\pi x}{L} \right) dx \\ &=\frac{1}{2}\left[ x+\frac{L}{2m\pi}\sin \frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &= \frac{1}{2}(2L) \\ &=L \end{align*} \\ \implies \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} \left( \cos \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2dx = 1 $$

첫번째 등호는 삼각함수의 반각 공식에 의해 성립한다.

$\eqref{eq2}$

$$ \int_{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L } dx \tag{2} $$

  • case 2.1 $m \ne n$

    $$ \begin{align*} &\int_{-L}^{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \ \quad (m,n= 1,2,\cdots,\quad m\ne n) \\ =&\ \frac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \cos \frac{(m-n)\pi x}{L} -\cos \frac{(m+n)\pi x}{L} \right] dx \\ =&\ \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \dfrac{(m-n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} - \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \dfrac{(m+n)\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ =&\ \frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m-n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ & -\frac{1}{2} \left[ \dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) +\dfrac{L}{(m+n)\pi}\sin \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ =&\0 \end{align*} $$

    첫번째 등호는 삼각함수의 곱셈공식에 의해 성립한다. 마지막 등호는 case 1.1 과 같은 이유로 모든 항이 $0$이므로 성립한다.

    case 2.2 $m = n$

    $$ \begin{align*} && \int _{-L}^{L} \left( \sin \dfrac{m\pi x}{L} \right)^2 dx &= \dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left( 1- \cos \dfrac{2m\pi x}{L} \right)dx \\ && &=\frac{1}{2}\left[ x-\frac{L}{2m\pi}\sin \frac{2m\pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ && &= \dfrac{1}{2}(2L) \\ && &= L \\ \\ \implies && \dfrac{1}{L}\int _{-L}^{L} \left( \sin \dfrac{m\pi x}{L} \right) ^2 dx&=1 \end{align*} $$

    첫번째 등호는 삼각함수의 반각 공식에 의해 성립한다.

$\eqref{eq3}$

$$ \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \tag{3} $$

  • case 3.1 $m \ne n$

    $$ \begin{align*} &\int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx \\ =&\ \dfrac{1}{2} \int_{-L}^{L} \left[ \sin \dfrac{ (m+n) \pi x}{L} - \sin \dfrac{ (m-n) \pi x}{L} \right] dx \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ - \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \dfrac{ (m+n)\pi x}{L} \right] _{-L}^{L} -\dfrac{1}{2}\left[ - \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \dfrac{ (m-n)\pi x}{L} \right] _{-L}^{L} \\ =&\ \dfrac{1}{2} \left[ - \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \big( (m+n)\pi \big) + \dfrac{L}{(m+n)\pi} \cos \big( (m+n)\pi \big) \right] \\ &-\dfrac{1}{2}\left[ - \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \big( (m-n)\pi\big) + \dfrac{L}{(m-n)\pi} \cos \big((m-n)\pi\big)\right] \\ =&\0
    \end{align*} $$

    첫번째 등호는 삼각함수의 곱셈공식에 의해 성립한다.

  • case 3.2 $m = n$

    $$ \begin{align*} \int _{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{n\pi x}{L} dx &= \int_{-L}^{L} \cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int _{-L}^{L} 2\cos \dfrac{m\pi x}{L} \sin \dfrac{m\pi x}{L} dx \\ &= \dfrac{1}{2} \int _{-L}^{L} \sin \dfrac{2m\pi x}{L} dx \\ &=\dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{L}{2m\pi}\cos 2m\pi + \dfrac{L}{2m\pi} \cos 2m\pi\right) \\ &=0 \end{align*} $$

$\eqref{eq4}, \eqref{eq5}$

$$ \begin{align*} \int_{-L}^{L} \cos\dfrac{n \pi x}{L} dx &=\left[ \dfrac{L}{n\pi}\sin \dfrac{n \pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &=\dfrac{L}{n\pi}\sin n\pi + \dfrac{L}{n\pi}\sin n\pi \\ &=0 \end{align*} $$

마지막 등호는 $n$이 정수이므로 성립한다. 사인 함수도 마찬가지 이유로

$$ \begin{align*} \int_{-L}^{L} \sin\dfrac{n \pi x}{L} dx &=\left[ -\dfrac{L}{n\pi}\cos \dfrac{n \pi x}{L} \right]_{-L}^{L} \\ &=-\dfrac{L}{n\pi}\cos n\pi + \dfrac{L}{n\pi}\cos n\pi \\ &=0 \end{align*} $$

따름정리

case 4 에 의해 코사인과 사인의 한 주기 평균은 $0$이다.

댓글