컴팩트 거리공간에서 연속인 전단사 함수의 역함수는 연속이다

컴팩트 거리공간에서 연속인 전단사 함수의 역함수는 연속이다

proof of that inverse function of continuous bijection in compact metric space is continuous

정리

$X$를 컴팩트 거리공간, $Y$를 거리공간이라고 하자. $f : X \to Y$가 전단사연속함수라고 하자. 그러면 아래와 같이 정의되는 $f$의 역함수 $f^{-1}$는 전단사이고 연속이다.

$$ f^{-1} (f(x))=x, \quad x\in X $$


컴팩트라는 조건은 빠지면 안된다

증명

거리공간에서 연속일 동치 조건

두 거리공간 $(X,d_{X})$, $(Y,d_{Y})$에 대해서, $f : X \to Y$라고 하자. 그러면 아래의 두 명제는 동치이다.

  • $f$가 $X$에서 연속이다.

  • 모든 $Y$의 열린 집합 $O_{Y}$에 대해서 $f^{-1}(O_{Y})$는 $X$에서 열린 집합이다.

거리공간에서 연속일 동치 조건을 거꾸로 $f^{-1}$에 적용하면, $f^{-1}$가 연속인 것은 모든 $X$의 열린 집합 $O_{X}$에 대해서 $f(O_{X})$가 $Y$에서 열린 집합인 것과 같다. 따라서 증명은 이를 보이는 방향으로 전개된다. 우선 임의의 $X$에서 열린 집합 $O_{X}$를 선택하자. 그러면$(O_{X})^{c}=C_{X}$는 $X$에서 닫힌 집합이다. 컴팩트 집합의 닫힌 부분 집합은 컴팩트이므로 $C_{X}$는 컴팩트이다.

보조 정리

$X$를 컴팩트 거리공간, $Y$를 거리공간, $f:X\to Y$가 연속이라고 하자. 그러면 $f(X)$는 컴팩트이다.

그러면 보조 정리에 의해서 $f(C_{X})$는 컴팩트이다. 거리공간에서 컴팩트 부분 집합은 닫힌 집합이므로 $f(C_{X})$는 닫힌 집합이다. $f$가 전단사라고 가정했으므로, $(f(C_{X}))^{c}=f((C_{X})^{c})=f(O_{X})$이고 $f(O_{X})$는 닫힌 집합의 여집합이므로 열린 집합이다.

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