초함수의 미분은 약 수렴에 대해서 연속이다

초함수의 미분은 약 수렴에 대해서 연속이다

정리1

초함수미분약 수렴에 대해서 연속이다. 다시말해 $T_{k}$가 $T$로 약 수렴하면 $\partial ^{\alpha} T_{k}$가 $\partial ^{\alpha}T$로 약 수렴한다.

$$ T_{k} \to T \quad \text{weakly} \implies \partial ^{\alpha} T_{k}\to \partial ^{\alpha}T \quad \text{weakly} $$

이때 $\alpha$는 임의의 멀티 인덱스이다.

설명

초함수의 미분이라는 오퍼레이터가 약 수렴에 대해서 연속일 동치 조건을 만족한다는 의미이다.

$$ \lim \limits_{n\to \infty} f(p_{n})=f(p),\quad \forall \left\{ p_{n} \right\} \text{s.t.} \lim_{n \to \infty}p_{n}=p $$

초함수에 대해서 이러한 사실의 의미가 있는 이유는 점별 수렴, 균등 수렴에 대해서는 성립하지 않기 때문이다.

$$ f_{k} \to f \quad \text{pointwise or uniformly} \not \!\!\! \implies f^{\prime}_{k}\to f^{\prime} \quad \text{pointwise or uniformly} $$

즉 $f$로 수렴하는 어떤 함수열 $f_{k}$에 대해서, $f^{\prime}_{k}$가 $f^{\prime}$로 수렴함이 보장되지 않는다. 하지만 약 수렴의 경우에는 이를 보장할 수 있다는 것이 핵심이다.

증명

초함수 수열 $T_{k}$가 $T$로 약 수렴한다고 가정하자. 초함수 미분의 정의에 의해, 임의의 테스트 함수 $\phi$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \left( \partial ^{\alpha} T_{k} \right)(\phi) = \left( -1 \right)^{\left| \alpha \right| }T_{k}(\partial ^{\alpha} \phi) $$

양변에 극한 $\lim \limits_{k \to \infty}$를 취하면 가정에 의해 다음과 같다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{k \to \infty}\left( \partial ^{\alpha} T_{k} \right)(\phi) &= \lim \limits_{k \to \infty}\left( -1 \right)^{\left| \alpha \right| }T_{k}(\partial ^{\alpha} \phi) \\ &= \left( -1 \right)^{\left| \alpha \right| }T(\partial ^{\alpha} \phi) \\ &= \left( \partial ^{\alpha}T \right)(\phi) \end{align*} $$

따라서 다음이 성립한다.

$$ \partial ^{\alpha} T_{k}\to \partial ^{\alpha}T \quad \text{weakly} $$

그러므로 $T_{k}$가 $T$로 약 수렴하면 $\partial ^{\alpha} T_{k}$가 $\partial ^{\alpha}T$로 약 수렴한다.


  1. Gerald B. Folland, Fourier Analysis and Its Applications (1992), p315 ↩︎

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