미분가능하면 연속이다

미분가능하면 연속이다

정리1

$f : [a,b] \to \mathbb{R}$이라고 하자. 만약 $f$가 $p \in [a,b]$에서 미분가능하면, $f$는 $p$에서 연속이다.

설명

역인 ‘연속이면 미분가능하다’는 성립하지 않음을 주의하자.

라떼는 이 결과를 간미연 ( 단히 말해서 분가능하면 속이다)으로 줄이는 드립이 있었지만 요즘 학생들은 간미연이 누군지 모를테니 안쓰는 드립이 됐지 않을까 싶다.

증명

$f$가 $p$에서 연속일 동치조건은 다음과 같다.

$$ \lim \limits_{x \to p}f(x)=f(p) $$

따라서 $\lim \limits_{x \to p} \left( f(x) - f(p) \right) = 0$ 임을 보이면 된다. $f$가 $p$에서 미분가능하다고 가정하자. 그러면 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \lim \limits_{x \to p} \left( f(x)-f(p) \right) &= \lim \limits_{x \to p}\left[ \frac{ f(x)-f(p) } {x-p}(x-p)\right] \\ &= \lim \limits_{x \to p} \frac{ f(x)-f(p) }{x-p} \cdot \lim \limits_{x \to p} (x-p) \\ &= f^{\prime}(p)\cdot 0 \\ &=0 \end{align*} $$

두번째 등호는 함수의 극한의 성질에 의해 성립한다.


  1. Walter Rudin, Principles of Mathmatical Analysis (3rd Edition, 1976), p104 ↩︎

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