스톤-바이어슈트라스 정리 증명

스톤-바이어슈트라스 정리 증명

정의1

$X$ 에 대해 $A \subset C(X)$ 이라고 하자.

(1) 서로 다른 $x_{1}, x_{2} \in X$ 에 대해 $f(x_{1}) \ne f(x_{2})$ 를 만족하는 $f \in A$ 가 항상 존재하면 $A$ 가 $X$ 의 점들을 분리한다Separate고 말한다.

(2) $X$ 가 메트릭 스페이스이고 모든 $\varepsilon > 0$ 과 $f \in C(X)$ 에 대해 $| g - f | < \varepsilon$ 을 만족하는 $g \in A$ 가 존재하면 $A$ 가 $C(X)$ 에서 유니폼리 덴스Uniformly Dense라 한다.

정리

$X$ 가 컴팩트 메트릭 스페이스라고 하자. $A$ 가 상수함수를 포함하는 $C(X)$ 의 알지브라고 $X$ 의 점들을 분리하면 $A$ 는 $C(X)$ 에서 유니폼리 덴스하다.

설명

스톤-바이어슈트라스 정리는 연속함수를 다른 함수로 근사시킬 수 있음을 보장한다. 다만 위의 표현은 다소 지나칠 정도로 추상적인 감이 없지 않아 있다. 흔히 알고 있는 $1$차원에서 다항함수에 대한 스톤-바이어슈트라스 정리는 다음과 같은 스테이트먼트로 쓰여진다.


바이어슈트라스 근사 정리

$f$ 가 $[a,b]$ 상에서 연속이면 주어진 $\epsilon > 0$ 에 대해 $\displaystyle \max_{x \in [a,b]} | f(x) - p (x) | < \epsilon$ 을 만족하는 다항함수 $p(x)$ 가 존재한다.


$p(x)$ 가 존재한다는 담백한 표현도 좋긴 하지만, 그 중요성을 생각해보면 지나치게 겸손하다고도 할 수 있다. 입실론 $\epsilon$ 은 괜히 나온 게 아니다. 딱 $\epsilon$ 만큼의 수학적 과장을 더하자면 어떤 연속 함수를 주든 다항함수로 표현할 수 있다고 말해도 좋은 것이다.

증명

Strategy: 결코 쉽지 않다. $F \in C(X)$ 에 대해 $A$ 가 아니라 그 클로져 $\overline{A}$ 에서 구체적으로 $| F - G | < \varepsilon$ 이 되도록하는 $G$ 를 만들어낸다. $G$ 를 만들기 위해선 $\overline{A}$ 는 클로즈 알지브라기 때문에 좋은 성질을 사용해야하며, 구체적으로 저러한 $G$ 를 찾아낸 후에는 $G$ 로 수렴하는 $A$ 의 시퀀스를 하나만 제시하면 끝이다.


$\overline{A}$ 의 모든 시퀀스 $\left\{ f_{n} \in \overline{A} : n \in \mathbb{N} \right\}$ 가 어떤 $f \in \overline{A}$ 에 대해 $n \to \infty$ 일 때 $\displaystyle | f - f_{n} | \to 0$ 면 $\overline{A}$ 가 유니폼리 클로져라고 한다. $X$ 가 컴팩트고 $\overline{A}$ 가 상수함수를 포함하면서 $C(X)$ 의 유니폼리 클로즈드 알지브라라고 하면 $f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies (f_{1} \land f_{2}), ( f_{1} \lor f_{2} ) \in \overline{A}$

$A$ 의 유니폼 클로져 $\displaystyle \overline{A} := \left\{ f \in C(X) : \lim_{n \to \infty} | f_{n} - f | = 0, f_{n} \in A \right\}$ 를 생각해보자. $A$ 가 알지브라이므로 $\overline{A}$ 역시 알지브라고, 유티폼 클로져의 성질에 따라

$$ f_{1} ,f_{2} \in \overline{A} \implies (f_{1} \land f_{2}), ( f_{1} \lor f_{2} ) \in \overline{A} $$


  1. William R. Wade, An Introduction to Analysis (4th Edition, 2010), p379-381 ↩︎

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