몰리피케이션

몰리피케이션

proof of smoothness of mollification

정의 1

$f \in \href{https://freshrimpsushi.github.io/posts/locally-integrable/}{L^1_{\mathrm{Loc}}( \Omega)}$와 $\epsilon>0$에 대해서 $f$의 $\epsilon$-몰리피케이션$\epsilon$ -mollification을 다음과 같이 정의한다.

$$ f^{\epsilon}(x) := \eta_{\epsilon} * f (x) =\int_{\mathbb{R}^{n}} \eta_{\epsilon}(x-y)f(y)dy, \quad x\in \Omega_{>\epsilon} $$

성질

  • (i) $f^{\epsilon} \in C^\infty( \Omega_{>\epsilon})$
  • (ii) 거의 어디에서나, $f^{\epsilon} \to f \text{ as } \epsilon \to 0$

증명

고정된 점 $x \in \Omega_{>\epsilon}$가 주어졌다고 하자. 그리고 $\Omega_{>\epsilon}$이 열린 집합이므로 $x+he_i \in \Omega_{>\epsilon}$을 만족하는 아주 작은 $h>0$가 가 존재한다. 그러면 어떤 열린집합 $V \Subset \Omega$에 대해서 다음이 성립한다.

$$ \begin{align*} \dfrac{ f^{\epsilon} (x+he_i)- f^{\epsilon}(x) }{ h} &= \int_\Omega \dfrac{\eta_\epsilon(x+he_i-y) - \eta_\epsilon(x-y) }{h} f(y) dy \\ &= \int_\Omega \dfrac{1}{\epsilon^n}\dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \frac{x+he_i-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \frac{x-y}{h} \right) \right] f(y) dy \\ &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int_V \dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \frac{x+he_i-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \frac{x-y}{h} \right) \right] f(y) dy \end{align*} $$

그리고 $y \in V$에 대해 다음이 성립한다.

$$ \dfrac{1}{h}\left[ \eta \left( \dfrac{x+he_i-y}{\epsilon} \right) - \eta \left( \dfrac{x-y}{h} \right) \right] \to \dfrac{1}{\epsilon}\eta _{x_i}\left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) \text{ uniformly as } h \to 0 $$

따라서 $f^{\epsilon}_{x_i}(x)$가 존재하고 그 값은 다음과 같다.

$$ \begin{align*} f^{\epsilon}_{x_i}(x) &= \dfrac{1}{\epsilon^n}\int _V \eta_{x_i}\left( \frac{x-y}{\epsilon} \right) f(y)dy \\ &= \int_{\Omega} (\eta_\epsilon)_{x_i}(x-y)f(y) dy \end{align*} $$

비슷한 방법으로, 각각의 멀티인덱스 $\alpha$에 대해 $D^\alpha f^{\epsilon}(x)$가 존재하고 그 값은 다음과 같다.

$$ D^\alpha f^{\epsilon}(x) = \int_\Omega D^\alpha \eta_\epsilon(x-y)f(y)dy, \quad x \in \Omega_{>\epsilon} $$


  1. Lawrence C. Evans, Partial Differential Equations (2nd Edition, 2010), p714 ↩︎

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