사인제곱+코사인제곱=1임을 증명

사인제곱+코사인제곱=1임을 증명

공식

$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$

증명

1-코사인의 덧셈 공식

코사인의 덧셈 정리를 이용하면 아주 간단하게 알 수 있다.

$$ \cos(\theta_1-\theta_2)=\cos\theta_1\cos\theta_2 + \sin\theta_1\sin\theta_2 $$

여기에 $\theta_1$, $\theta_2$ 대신 $\theta$를 대입하면

$$\cos(\theta-\theta)=\cos^2\theta + \sin^2\theta$$

$$\implies \cos(\theta-\theta)=\cos 0=1$$

$$\implies \sin^2\theta+\cos^2\theta=1$$

2-피타고라스의 정리

1.jpg

반지름이 1인 단위원이 있다. 단위원의 반지름, 반지름과 원의 점접에서 $x$축에 내린 수선, $x$축이 이루는 삼각형을 보자. 밑변의 길이는 $\cos\theta$, 높이의 길이는 $\sin\theta$, 빗변의 길이는 $1$ 이다. 따라서 피타고라스의 정리에 의해

$$ \sin^2\theta+\cos^2\theta=1 $$

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