슈발츠 보조정리 증명

슈발츠 보조정리 증명

정리 1

단위원 $|z| \le 1$ 에서 해석적인 함수 $f$ 에 대해 $f(0) = 0$이고 $0 < |z| < 1$ 에서 $|f(z)| \le 1$ 이라고 하자. 그러면 $0 < |z| < 1$ 에서 $$ |f'(0)| \le 1 \\ |f(z)| \le |z| $$

증명

물론 일반성을 잃지 않고 $|z| \le r$ 로 확장할 수 있지만 증명의 편의를 위해 단위원을 잡았다.


새로운 함수 $g$ 를 $\displaystyle g(z) := \cases{ {{f(z)} / {z}} & , 0<|z|<1 \\ f'(0) & , z=0}$ 와 같이 정의하자.

$\displaystyle \lim_{z \to 0} {{f(z)} \over {z}} = f'(0)$ 이므로 $g$ 는 단위원 안에서 연속일 뿐만 아니라 해석적이다.

$$ |g(z)| = \left| {{f(z)} \over {z}} \right| = {{1} \over {|z|}} | f(z) | \le {{1} \over {|z|}} $$

최대절댓값 정리에 의해 $$ |g(z)| \le {{1}\over{|z|}} = 1 $$ 따라서 $$ |g(0)| = |f'(0)| \le 1 $$ 한편 $|g(z)| \le 1$ 의 양변에 $|z|$ 를 곱하면 $$ |z||g(z)| \le |z| $$ 다시 정리하면 $$ |z||g(z)| = \left| z {{f(z)} \over {z}} \right| = |f(z)| \le |z| $$


  1. Osborne (1999). Complex variables and their applications: p103. ↩︎

댓글