리즈 표현 정리 증명

리즈 표현 정리 증명

정리1

$\left( H, \left\langle \cdot,\cdot \right\rangle \right)$가 힐베르트 공간이라고 하자. $H$의 선형 범함수 $f \in H^{ \ast }$와 $\mathbf{x} \in H$ 에 대해 $f ( \mathbf{x} ) = \left\langle \mathbf{x} , \mathbf{w} \right\rangle$와 $\| f \|_{H^{\ast}} = \| \mathbf{w} \|_{H}$ 을 만족하는 $\mathbf{w} \in H$ 가 유일하게 존재한다.

설명

쉽게 말해 힐베르트 공간의 듀얼 스페이스 $H^{ \ast }$ 의 모든 원소가 어떻게 생겼는지 규명한 셈인데, 이게 말은 간단해도 함수라는 게 정의하는 사람 마음대로라는 걸 생각해보면 이런 정리를 증명할 생각을 한 것부터가 경이롭다고 할 수 있겠다.

증명

$f = 0$ 라고 하면 $f ( \cdot ) = \left\langle \cdot , \mathbf{0} \right\rangle$ 와 $\| f \| = 0$ 을 만족하는 $\mathbf{y} = \mathbf{0}$가 존재해서 증명할 게 없으므로 $f \ne 0$ 이라고 가정하자.

가 성립하여 $\left\| f \right\| = \left\| \mathbf{w} \right\|$이다. 따라서 $\mathbf{w}$가 정리의 조건을 만족시킨다는 것을 알 수 있다.


  1. Ole Christensen, Functions, Spaces, and Expansions: Mathematical Tools in Physics and Engineering (2010), p70-71 ↩︎

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